Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бреховских Л.М. -> "Акустика слоистых сред" -> 12

Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.

Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред — М.: Наука, 1989. — 416 c.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка): akustikasloistihsred1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 195 >> Следующая

Pi = exp[iАг(лг sin в - z cos 0)], pr = V exp [ik(x sin в +z cos 0)],
(2.16)
Здесь к=оэ/с,в -угол падения волны, составляемый волновым вектором
IT = (lupy'q^A |2ехр(-2?2г),
1Т = (2pcJxn | А |2, п = qjk, q2 = 0.
(2.13)
(2.13а)
c~2d2p/dt2 - Ар = 0,
(2.14)
27
Рис. 2.1. Геометрия задачи об отражении и преломлении плоской звуковой
волны на границе раздела
с осью г. Полное поле в верхней среде будет равно
Р = PiiPr = [exp(-ifcz cos 0) + Vexpiikz cos 0)1 exp(rfcx sin 0).
(2.17)
Преломленная волна в нижней среде запишется в виде
р, = W exp[/fc,(x sin 0 | - z cos 0 j)] > кх = to/cj , (2.18)
где вх - угол прелошения, а величину W мы назовем коэффициентом
прозрачности границы. В литературе W называют также коэффициентом
пропускания или коэффициентом прохождения.
Величины V, W и вх определяются из условий (1.21а) на границе раздела.
Поскольку граничные условия должны быть соблюдены при произвольном
значении горизонтальных координат, то волны с разными значениями
горизонтального волнового векгора должны удовлетворять им независимо.
Поэтому падающая, отраженная и прошедшая волны имеют одинаковые проекции
волнового вектора на плоскость z - 0. Это обстоятельство, являющееся, в
сущности, прямым следствием инвариантности слоистой среды относительно
горизонтальных трансляций, уже было использовано при записи отраженной
волны. (Аналогично, в силу стационарности среды - неизменности ее во
времени - падающая, отраженная и преломленная волны имеют одну и ту же
частоту.) Применительно к прошедшей волне из постоянства горизонтальной
компоненты волнового вектора вытекает закон преломления Спелля:
k sin 0 = кх sin 0i. (2.19)
Его можно записать также в виде i sin 0/sin 0{ = гг, (2.19а)
где п = кх/к = с/с х - показатель преломления. Мнемонически особенно
удобна такая форма записи закона Снелпя:
c'l(z)sin0(z) = const. (2.196)
В дальнейшем мы часто будем использовать понятие импеданс*) волны
Z =
-Р . , &
- = -luppi- у- Ъг
(2.20)
¦ОТочнее, так определенный импеданс Z называется нормальным. Если в
(2.20) вместо нормальной к границе компоненты скорости взять ее полную
величину, то получим характеристический импеданс. Последнее понятие нам
почти не понадобится б дальнейшем.
28
Для волн с гармонической зависимостью от горизонтальных координат н
времени в общем случае слоистой среды величина Z является функцией z, со
и Используя понятие импеданса, граничные условия (1.21) можно представить
в эквивалентном виде:
[pi z = о = 0. [Z]z = 0=0. ' (2.21)
Из условия непрерывности давления вытекает связь коэффициентов отражения
н прозрачности:
1 + V = W. (2.22)
Обратимся теперь к условию непрерывности импедансов. С помощью
(2.17), (2.18) н (2.20) находим импеданс волны в нижней среде
~ p]Ci/cos0! (2.23)
- величину, не зависящую от 2, и импеданс суммарного поля падающей н
отраженной волн в верхней среде
Z = (pc/cos0)[exp(-2i'fczcos0)+ И/[ехр(- 2/fcz cosf))- V\. (2.24)
Приравнивая импеданс при z * 0, находим коэффициент отражения:
V = (Z! cos0 - pc)/(Zi cosff+рс). (2.25)
Из вьшода ясно, что эта формула справедлива для коэффициента отражения от
произвольного слоистого полупространства (z < 0), если только найден его
''входной" импеданс Z у прн z = 0.
В рассматриваемом простейшем случае однородного нижнего полупространства,
используя формулу (2.23) для^!, находим
V = (m cos в - п cos 6у)/(т cos в + п cos в j), т - pjp, (2.26) илн при
учете (2.19)
V = (т cos в - у/п2 - sin30 )/(т cos в + yfn2 - sin20 ). (2.27)
Если под корнем находится отрицательная величина, то выбор знака корня
вытекает нз условия ограниченности поля преломленной волны (2.18) на
бесконечности:
ImcosOi = Im (yfn2 - sin26/n) > 0. (2.28)
Формула (2.25) записывается в наиболее простом н симметричном виде, если
воспользоваться импедансом падающей волны Z - рс/cos в:
V = (Z, -Z)/(Zy +Z). (2.29) Коэффициент прозрачности находим при помощи
(2.22):
W = 2Z, cos 6{{Zy cos в +рс) ~ 2Ztl(Zt +Z) (2.30)
илн
W = 2т cos0/(m cos в + л cos 0j) = 2т cos 6f(m cos в + y/n2 - sin20).
(2.31)
Выражения (2.26), (2.27) и (2.31) для коэффициентов отражения и
прозрачности называют формулами Френеля.
Рассмотрим некоторые частные случаи. При нормальном падении волны на
границу (б = ду =0) имеем
V = (т-п)/(т +л) = 0Ptct -pc)/(ptct +Рс),
W = 2тЦт+п) * 2p1clf{plcl +рс).
Коэффициенты отражения н прозрачности зависят здесь не от скоростей звука
н плотностей сред в отдельности, а от произведений рс н русу, называемых
волновыми сопротивлениями илн характеристическими импеданса-ми сред.
В случае равенства скоростей звука, с = сг{п = 1), коэффициенты отражения
н прозрачности не зависят от угла падения:
у = (Pi - P)/(Pi + pj = ("! + 1 )/(m + 1),
(2.32)
W = 2p,l(pi +p) = 2m/(m + l).
В случае, когда n Ф 1, в -*¦ п/2 (скользящее падение), получаем: V-+-1, W
-+0.
Если угол 0 удовлетворяет условию m cos 0 = (л2 - sin20)1/2, то
коэффициент отражения обращается в нуль. Эго - случай полкой прозрачности
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed