Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
границы. Из последнего равенства находим для угпа полной прозрачности
tg20 (т2-"2)/("2-1). (2.33)
Для того чтобы угол полной прозрачности был вещественным, необходимо
выполнение условия (m2 - л2)/(л2 - 1) >0. Отсюда следует, что должно
выполняться одно нз соотношений: либо 1 < л < т, пнбо 1 >п >т.
Прямое дифференцирование выражения (2.27) показывает, что коэффициенты
отражения н прозрачности являются монотонными функпнямн 0, если п > 1.
Когда п < 1, монотонность имеет место для углов прн 0 < 0 < <6 = arcsin
л. При Ь < 0 < п/2 коэффициент отражения становится комплексным - имеет
место полное внутреннее отражение. Действительно, учитывая (2.28),
формулу (2.27) можно записать как
т cos0 - t(sin20 - п2)1^2 _
Iр = -2arctg
т cos0 + i(sin20 - п2)у>2 (sin2в - л2)1/2
(2.34)
т cos 0
Мы вндим, что в этом случае | V \ = 1, т.е. отражение полное. Величина -
скачок фазы волны прн отражении - является монотонной функпней угла 0.
ФаЗовый сдвнг прн отражении ^(0), как мы увидим ниже (см. § 5, 13),
обуславливает весьма интересные явления прн отражении ограниченных
волновых пучков, а также звуковых импульсов.
При изменении значения угла падения в or критического угла полного
отражения 5 до п/2 модуль коэффипнента прозрачности уменьшается от двух
до нуля. Сдвиг фазы преломленной волны относительно падающей на границе
раздела составляет половину от сдвига фазы при отражении: W = | W|
exp(iV/2). В ннжней среде, согласно (2.18) н (2.19а), прн полном
внутреннем отражении поле представляет собой неоднородную 30
плоскую волну
pi = W exp(iuz +ikx sin 9), p = fc(sin2f) - n2)1/2,
(2.35)
амплитуда которой экспоненциально затухает при удалении от границы.
Импеданс Z\, согласно (2.20), при этом будет чисто мнимой величиной: Zt-
-iupilp, В соответствии с формулой (2.13), при полном отражении
преломленная волна не уносит энергию от границы: средний за период вектор
плотности потока мощности параллелен оси х. Энергия, приносимая падающей
волной, полностью возвращается в верхнюю среду в отраженной волне.
Коэффициент отражения V можно изобразить на комплексной плоскости.
Откладывая по осям абсцисс и ординат соответственно его вещественную н
мнимую части, мы получим для различных соотношений параметров сред случаи
а, б, в и г, изображенные на рис. 2.2. В случаях а и б (п > 1)
коэффициент отражения веществен. Поэтому его значения, соответствующие
различным углам в, укладываются на отрезок вещественной осн. Прн этом в
случае а прн угле падения 0, определяемом формулой (2.33), коэффициент
отражения обращается в нуль, в то время как в случае б он прн всех
значениях 0 < 0 < тг/2 отрицателен н в нуль не обращается.
Случаи виг (п < 1) соответствуют наличию полного внутреннего отражения.
Здесь прн 0 > 5 = arcsin п точки, отвечающие комплексным значениям
коэффициента отражения, лежат на полуокружности единичного радиуса. Это
наглядно показывает, что коэффициент отражения равен по модулю единице;
прн изменении же угла в меняется лишь его фаза. В случае г, в согласии с
формулой (2.33), прн определенном в значение V обращается в иуль.
-1 i 1 -1 i 1
8=п/2 0=0 -i а 8=п/2 8=0 -i S
шений параметров сред:
\<cfcl<plfp (а); 1 <с/с,, р,/р<с/е, (0); e/Cj < 1,с/с, <р,/р (в);
р,/р<с/с, <1 (г)
31
Отметим свойства симметрии процесса отражения плоской волны по отношению
к обращению направления ее хода. Если для волны, падающей из верхней
среды под углом 0, угол преломления составляет 0 j, то при падении из
нижней среды под углом 0 i угоп преломления в верхней среде, как следует
из (2.19), равен 0. Далее, если для волны, падающей под углом в из
верхней среды, коэффициент отражения равен V, то при падении из нижней
среды под углом 0,, как видно из формулы (2.29), он
оказывается равным - V. В частности, если 9 - угол полного прохожде-
ния из верхней среды в нижнюю (К(0) = 0), то 0! - угол полного
прохождения из нижней среды в верхнюю. Для коэффициент прозрачности W
такое простое правило отсутствует, однако величина Wcos 0/рс (угол 0,
параметры рис должны быть взяты в среде, где распространяется
преломленная волна) оказывается в силу соотношения (2.31) инвариантной
относительно обращения направления хода волны.
Как видно из формул (2.18) и (2.22). на границе раздела давление в
прошедшей волне будет в 1 + V раз больше, чем в падающей. Возьмем для
примера отражение звука от границы воздух - вода прн нормальном падении
нз воздуха. Здесь р = 1,3 • 10"3 г/см3, р, = 1 г/см3, с = 333 м/с, сх -
1500 м/с. По формуле (2.27) получаем: V *= ]. Таким образом, амплитуда
давления в воде будет в два раза превышать амплитуду давления в падающей
волне. Наоборот, если волна падает из воды на границу ее с воздухом, то,
учитывая малость отношения pc/pjCj, находим:
V = (pc-pjc,)/(pc+pjc,) " -I + 2 рс/ р! с j -I,
W = l + 1/ъ 2pc/p,Cj * 5,8 ¦ КГ4,
т.е. амплитуда давления в прошедшей волне близка к нулю. Таким образом,
прн переходе звуковой волны из одной среды в другую и обратно отсутствует
