Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
= fc"+1sin0"+1(l +M"+1sin9"+1)",d/ctg9/. (2.86)
По известным значениям входных импедансов на границах слоев коэффициент
отражения определяется при помощи формулы (2.67), а коэффициент
прозрачности- формулы (2.74).
Явные выражения для входных импедансов системы с одним, двумя и тремя
слоями даются соответственно формулами (2.47), (2.68) и (2.69). На
движущуюся среду распространяются результаты исследования различных
частных случаев, рассмотренных в предыдущих разделах настоящего параграфа
(просачивание волны через слой, полуволновой и четвертьволновой слон).
Еще раз подчеркнем, что прежние формулы в случае движущейся среды несут в
себе новое содержание. Например, поскольку фазовый набег в слое, согласно
(2.86), зависит от угла между векторами ? и v0, полуволновой слой
подчеркивает при его прохождении в пучке монохроматических плоских волн
те, для которых
кр2 = *3(1 + ^3Sin03)_1sin 03 ¦ d% ¦ ctg 02 = /тг, /= 1, 2,. . .
(2.87)
В случаях, когда скорость течения образует разные углы с осью ху в
звуковом поле за слоем подчеркиваются плоские волиы с различными
значениями угла падения В 3.
Проанализируем подробнее отражение плоской монохроматической волны от
плоской границы раздела однородных движущихся сред*). Из формул (2.29),
(2.84а) получаем
У = [рг с I sin (20 j) - р j с j sin (20 2)/ \р*с\ sin (20,) +
+ pic] sin(20 2)]. (2.88)
В такой форме записи течения сказываются на коэффициенте отражения только
через углы падения и преломления волны. Когда граничащие среды являются
газообразными, можно показать, что pic\!{pi^X) - У2/У1, где у - отношение
теплоемкостей газа при постояйном давлении и постоянном
*) Эта задача исследовалась в работах [449,489].
43
объеме. Отражение на границе в силу принципа относительности должно
зависеть не от значений скоростей течения в обеих средах, а только от
относительной скорости. Коэффициент отражения (2.88) удовлетворяет такому
требованию. Это становится очевидным, если преобразовать (2.88) при
помощи соотношения (2.83):
[ 1 - sin 0! (t?2 - Ui )/ci ] - p 1Ci cos cos ^ i
Y =----------------------------------------------------, (2.o9)
[1 -sin'0j(u3 - Vi)fci] +pjcjc os 62IP2C2 cos0j
где
. л (C2/Ci)sin0t
sm 02 ------------------------.
1 - sin 0! (1*2 - Vi )/cl
Здесь и ниже для краткости мы не пишем индексы 0 н х у значений скорости
(ио*/ = Uf). Значение V ие изменяется при одновременной перемене знака
sin0i н (t2 - Oj). При исследовании коэффициента отражения для
определенности будем считать sin0j > 0. В системе координат, движущейся
вместе с верхней средой, это соответствует распространению следа волны в
сторону х > 0. Чтобы получить коэффициент отражения V для всех возможных
углов падения, достаточно принять 01 >0 и придать относительной скорости
и2 - Vi два значения; ± | и2 - у2 |.
В неподвижной среде возможно обычное, т.е. частичное, и полное отражение
(соответственно |К|< 1 н|К| = 1).В движущейся среде появляется третий
возможный режим - отражение с усилением (| V{> 1). Из соотношения (2.89)
видно, что необходимым и достаточным условием полного отражения является
неравенство |sin02|> 1. Полное отражение происхрдит при таких угпах
падения, что
(i>2 - ui - с2)/с! < 1/sin вi <(v2 - i"i +Cj)/ci. (2.90)
Отражение с усилением имеет место, когда значение cos02 вещественно, т.е.
если |sin02|< 1, и величина, заключенная в формуле (2.89) в квадратные
скобки, отрицательна. Из этих условий находим диапазон углов падения, в
котором I V | > 1:
sin 0, >ct /(и2 - У! - с2)>0. (2.91)
Поскольку sin0j < 1, то усиление возможно только при достаточно большой
относительной скорости течения в граничащих средах;
v2 - uj >ci +е2. (2.92)
Физически условия, нз которых получена формула (2.91), означают, что: а)
в иижней среде имеется обычная (однородная) плоская волна, т.е.
существует поток энергии вдоль оси z; б) v2, проекция скорости нижией
среды на направление f, больше скорости следа волны Ci/sin0, + и, на
границе раздела. В частности, если верхняя среда покоится, а скорость
ннжней среды параллельна вектору f, отражение с усилением возможно, когда
движущаяся жидкость обгоняет перемещающийся по границе раздела след
волны.
Особым случаем отражения с усилением является резонанс - обращение
коэффициента отражения в бесконечность. Для этого должны быть удов-
44
летворены неравенство (2.91 > и уравнение / Pic\ \ 2 Г / casing,
\Р2Сг } [ V С! - (Uj - l>t) sin О,
= (1 - sin^Oc;2 [с, - (и, - и,) sin 0,]J, (2.93)
являющееся необходимым условием обращения в нуль знаменателя выражения
(2.89) для коэффициента отражения. Соотношение (2.93) является
алгебраическим уравнением шестой степени относительно sin0i и определяет
резонансные значения угла падения.
Их удается найти явно, когда граничащие среды идентичны (pi = ft, Cj =
с2). Если ввести вместо sin0i пару неизвестных: а = sin-10i,6 = * М -
sin_10i (где М = (и2 - то уравнение (2.93) сводится
к системе а+Ь=М,
(а2 - Ъ1) [{abf + 2ab - М2 ] =0, (2.94)
