Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
симметрия по отношению к значениям звукового давления. Нет ее, как можно
убедиться, и для скорости частиц в волне. Однако сейчас мы покажем, что
такая симметрия существует по отношению к нормальным к границе
компонентам вектора плотности потока мощности, если нет полного
внутреннего отражения.
В падающей волне (согласно формуле (2.13а)) = cos 9\р 12/2рс,
в прошедшей волне /1г = cos 0j| р, |2/2p,ci. Отношение
R = /1г//г = [рс cos01/(p1c1cos0)]| ИМ2 (2.36)
имеет смысл энергетического коэффициента прозрачности границы. Пользуясь
соотношением (2.31) для W, получаем
cos0 COS0. F cos0 cos01 I"2
R = 4------------------------- + L (2.37)
pc p,c, [ pc p,Ci J
Последнее выражение симметрично по отношению к величинам, относящимся к
верхней и нижней средам, и поэтому ие меняется при изменении направления
хода волны на обратное.
Мы получили соотношения симметрии исходя из явных выражений для величин V
н W. Однако эти соотношения не являются специфическим свойством
рассмотренной простейшей модели среды. В дальнейшем (§6) мы обобщим их на
случай относительного движения сред и докажем кх
32
справедливость для слоистых жидкостей весьма обшего вида, когда явные
выражения для коэффициентов отражения н прозрачности иайтн не удается.
2,3. Локально реагирующие поверхности. Могут быть случаи, когда импеданс
границы Z, не зависит от угла падения волны. Например, допустим. что
скорость звука в ннжней среде много меньше, чем в верхней (л = c/cj > 1).
Тогда, нснользуя закон преломления (2,19а), получаем cos 01 = (1 -
и"2sin20)ll,2 ^ 1, а для импеданса (2.23) находим Zi = р,с, прн любом 0.
В таких случаях можно сразу упростить' задачу об отражении, не
рассматривая поля в ннжней среде, а вместо двух граничных условий (2.21)
брать только одно, вытекающее нз равенства нмпедаисов иа границе
(см. (2.20)):
z = 0, dpjbz+yp = 0, у = iojpjZi. (2.38)
Условие (2.38) иногда называют граничным условием третьего рода или
нмпедаисным граничным условием. (Условия первого н второго рода
рассматривались в п. 1.2). Для задачи об отражении плоской волны переход
от двух граничных условий к одному не имеет особой важности, так как
формула (2.25), полученная довольно простым способом, справедлива и без
предположения о постоянстве Z t. В более сложных дифракционных задачах,
когда граница нпн фронт волны не плоские, переход к нмпедансно-му условию
может сильно упростить задачу.
Существуй один интересный случай, когда импеданс Zi является постоянным
не приближенно, а точно. Пусть звуковая волна падает на границу z = 0,
ниже которой расположена совокупность узких канавок глубины h,
заканчивающихся неподатливой границей z = -h н имеющих неподатливые
стенки (гребенчатая структура, рис. 2.3). Ширину канавок будем считать
малой по сравнению как с длиной волны, так н с глубиной И. Найдем
импеданс Z х этой гребенчатой структуры в плоскости 2=0, который по
формуле (2.25) определяет коэффициент отражения плоской волны. Падающая
звуковая волна будет возбуждать в канавках плоские волны (как в узких
трубах), бегущие в ннх в обоих направлениях. Мы будем пренебрегать
потерями энергии из-за трения на стенках. Тогда звуковое давление в
каждой трубке можно записать как г 4
Pi - A exp(ikz) + Bexp(-ikz).
(2.39)
На дне канавкн должно выполняться граничное условие (1.19а), подстановка
в которое р i нз (2.39) дает: А =
-В ехр(2/А:й). Для импеданса на границе тогда получаем 2=0 нз (2.20) и
(2.39)
Z, = ipc ctg kh (2.40)
- величину, не зависящую от 0.
Рис. 2 3. К определению импеданса гребенчатой
структуры
3. Л.М. Бреховских
Импедансные граничные условия широко используются в архитектурной
акустике. Звукопоглощающий материал с открытыми вертикальными порами
имеет ие зависящий от угла падения импеданс по той же причине, что и
гребенчатая структура. Условие (2.38) может быть применимо и в
атмосферной акустике. Так, в работе [349] экспериментальные данные для
звуковых полей над различными видами поверхности - от свежевыпавшего
снега до асфальта - удовлетворительно объяснены на основе . локальных
граничных условий. Вообще, пользоваине не зависящим от угла падения
импедансом законно во всех случаях, когда звуковое возмущение в нижней
среде не передается вдоль ее границы. Поэтому нормальная скорость в
каждой точке поверхности будет вполне определяться значением давления в
этой точке. Поверхности раздела сред, удовлетворяющие этому условию,
называются локально реагирующими.
В гребенчатой структуре передача возмущения вдоль границы невозможна из-
за наличия стенок трубок. В случае преломления волны на границе двух
однородных полупространств, когда с > сt, возмущение ие передается по
нижнему полупространству вдоль границы, потому что преломленная волна
уходит от границы почти нормально.
2.4. Отражение от плоского слоя. Представим себе, что на плоский слой
толщины d (рис. 2.4) падает под некоторым углом плоская звуковая волна.
Среде, из которой падает волна, слою н среде, в которую проходит волна,
