Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
V = (z?>-Z" + 0/(Z?>+Z" + 1)- - (2.67)
Нетрудно видеть, что если в каком-либо из слоев / набег фазы уу равен
целому числу полуволн, то такой слой никак не влияет на отражение не-
зависимо от значения импеданса Zf. Выпишем теперь в явном виде входной
импеданс для системы двух слоев (п = 3)
^(з) ш ? - Z3S3S3)- iZ2(Z2s2 + 23ж3)
Z2{Z2 - Z2s2^)~ iZ\{Z%s2 + Z2s3)
(2.68)
и для системы трех слоев (п =* 4)
Z<n4) = MZ,/N, (2.69)
где
М - Z\{Z2Zz - Z\s2$z - Z3Z4S2S4 - Z224S3S4) -
- iZ2(Z2ZzS2 + Z3Z4S4 - Z224S2S3S4),
N = Z2(ZzZ^ - Z2Z4$2Sz - Z2ZjS2S4 - Z3S3S4) -
-iZx{ZbZ4$2 ^Z2Z^Sz +2^384 - 2352^3^4)'
Легко проверить, что прн равенстве импедансов каких-либо соседних слоев
формулы (2.68), (2.69) переходят в соответствующие результаты, полученные
ранее для меньших значений л.
Найдем теперь коэффициент прозрачности произвольной системы слоев.
Обозначим через Zj координату верхней границы слоя /. Тогда звуковое
давление в каждой из п + 1 сред может быть записано (всюду опущен фактор
exp[i(?n + | д: sin 0" + i - о?Т)1)как
Pf = Af txp[ikf{z-zy_i)cos0/| +Bjexp[-ikj(z - Zj.^cosej],
z}_x < z < zft / = 2,3,+1, z" + 1 = +", (2.70)
= 5iexp[-/A:t(z-Zj)cos0i), z<Zj.
На границах слоев должно быть непрерывным давление, а также импеданс.
Значит,
z*z;, Pf~P;+ ь
-iwp/p^bpjlbzy' =-/а>р/+1р/+1(Эр/+|/Эг)-' =Z[i'). (2.71)
Подстановка сюда pj и pj+i из (2.70) при учете соотношения Z/ + l -Zf=* =
dj+1 дает три уравнения на амплитудные коэффициенты Af, Bj, Aj+l и
39
Bj+i:
Af exp(iipj) + Bj exp(~ Upj) - Af+1 + Bf+,,
[A,exp(tpj) + Biexp(- ^/)]/[i4/exp(%)-i>/exp(-^)]
(Л/+1 + Д/+1)/(Л/+1 - Л/+1) = - Z("/Z/+, . (2-72)
Для единообразия записи формул мы используем здесь величины А\ - 0 и = 0.
Разрешая два последних уравнения относительно Af[Bj и ^4/+i/S/ +1 и
подставляя найденные отношения в первое из уравнений (2.72), находим
В,/В,+1 = exp(ty) (Zf'> + Z,)/(Zf" + Z/+1), (2.73a)
AflB^exvi-TiyHZft-ZfrkZin + Z,). (2.736)
Придавая затем / последовательно значения / = 1, 2, . . . , п и
перемножая получающиеся из (2.73а) уравнения, для коэффициента
прозрачности, равного по определению отношению амплитуд давления в
прошедшей и падающей волнах, в конечном счете получаем
W = B, ^ П ехр(%) (Z,<'> + Z,)/(Zfi[> + Z/+,). (2.74)
Аналогично через Вп+х можно выразить Bj в любом слое. Тогда Af находим по
(2.736), что завершает определение звукового поля во всей
дискретнослоистой среде.
Заметим, что к рассматриваемой задаче можно было подойти иначе. Чтобы
полностью определить звуковое поле в среде с п - 1 однородным слоем между
двумя однородными полупространствами, достаточно, как видно из
соотношения (2.70), найти 2п неизвестных амплитудных коэффициентов: Af, В
j (/ = 2, 3,..., л), В\ и An+i; (Амплитуда Bn+i падающей волны в верхнем
полупространстве считается заданной.) Условия (1.21а) непрерывности
давления и колебательной скорости на п границах между средами дают 2л
лииейиых уравнений для нахождения неизвестных Af, Bf:
Af exp (i<pf) + Bf exp(- щ) = А}+1 + Bf+i, j - 1,2,... ,n; Ax =0,
(kfjpf) cos efiAfexpd^-Bfexpi-tyffl = (2.75)
= (^/+i/P/+i) ^ fy+i {Ai+\ - Вf+1).
Решение системы уравнений немедленно выписывается по обычным правилам
линейной алгебры. Однако изложенный выше метод с использованием импеданса
требует значительно меньше вычислений н намного более физически
''прозрачен".
В технических приложениях слоистых систем наряду с вычислением
коэффициентов отражения и прозрачности большое значение имеет обратная
задача - подбор параметров слоев, обеспечивающих заданные свойства
системы (например, близость коэффициента отражения от переходного слоя к
нулю в определенном угловом н частотном диапазоне). Эти вопросы
рассмотрены в монографии [52, гл. 2], ссылки на более поздние работы
можно найти в [284],
2.6. Учет относительного движения слоев. Импеданс гармонических волн в
движущейся среде. Задача об отражении плоской волны от движущейся
днскретио-слоистой среды оказывается значительно богаче по разнообра-40
зию физических ситуаций по сравнению с рассмотренной выше задачей об
отражении от неподвижной среды. Например, как мы увидим в дальнейшем, в
отдельных случаях коэффициент отражения оказывается большим единицы;
коэффициенты отражения и прозрачности зависят не только от угла падения,
но и от ориентации плоскости падения относительно течения.
До недавнего времени отражение звука от движущихся дискретно-слоистых
сред обычно рассматривали как самостоятельную задачу. Решения были
получены только прн небольшом числе'слоев. Ряд работ оказался ошибочным
из-за неправильной формулировки граничных условий (см. п. 1.2). Мы не
будем рассматривать отражение в движущейся среде заново для границы двух
полупространств, одного слоя н тд., а покажем, как переносятся на общий
случай движущейся среды с произвольным числом слоев результаты
предыдущего раздела. Центральным моментом здесь будет обобщение понятия
импеданса волны на движущиеся слоистые среды.
В днскрегно-слонстых средах на одной илн нескольких границах может
