Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
мы присвоим соответственно номера 3, 2 н ]. Среды J, 2, 3 предполагаются
однородными. Углы, образуемые направлением распространения волны в каждой
из сред с нормалью к границам слоя, обозначим 9j, где / = 1, 2, 3.
Плоскость падения волны, как н в п. 2.2, совместим с плоскостью xz.
Коэффициент отражения от слоя, согласно формуле (2.29), равен
К - (Zip - Z3)/(Zin + Z3), (2.41)
где
23 = р3с3(со$ д $ (2.42)
- импеданс плоской волны в среде 3, Zyu - подлежащий определению
''входной импеданс" слоя, т.е. импеданс на границе сред 2 и 3. Найдем
Zin, учитывая, что импеданс 2, прн 2=0 нам известен (формула (2.23)).
Как показано в н. 2.2, горизонтальная компонента волнового вектора
одинакова по всей слоистой среде. Поэтому, аналогично (2.19), имеем kt
sin вi = k2 sin в2 = *э sin
(2.43)
Опуская множитель exp [/(&3jcsin02 - - cor)], дающий зависимость от
горизонтальной координаты и времени, запишем звуковое поле в слое
¦Рис. 2.4. Система волн при отражении от слоя
34
(см. (1.30)):
рг - А ехр(/Л2г cos б2) + Яехр (~ik2z cos 02). (2.44)
Связь между постоянными А и В находим из непрерывности импеданса на
границе г = 0:
-i^p2P2(bp2/dz)I\z = 0 - Z,, или А/В - (Z, -Z2)/(Zi +Z2), (2.45)
где через
Z2 - Pa^i/cosflz ' (2.46)
обозначен импеданс плоской волны в среде 2. При z - d импеданс волны
(2.44) равен искомому входному импедансу слоя. Учитывая (2.45), находим
важную формулу
Zin = Z2{Zl - iZ2 tg$)I(Z2 - iZx tg<p), (2.47)
позволяющую пересчитывать импеданс с одной границы слоя на другую. В
формуле (2.47) мы обозначили
ip = k2d cos (2.48)
- иабег фазы плоской волны прн распространении через слой.
Подставляя теперь (2.47) в (2.41), получаем для коэффициента отражения от
слоя
,, (Z, +Z2)(Z2 -Z3)exp(-2wO + (Z. +Z3)
V -------------------------------------------------------. (2.49)
(Z, +Z2)(Z2 +Z,)exp(-2iV) + (Z1 -Z2)(Z2 -Z3)
В частном случае, когда нмпедансы краииих сред одинаковы (Zt - Z3),
формула (2.49) может быть записана в виде
V = (zi- Z\)KZ] +Zj + 2IZ,Zt ctg*). (2.50)
В другом случае, когда толщина слоя d-* 0 mnd Ф 0, H0Z2 ~*Z j, из (2.49)
получаем
V = (Z, - Z3)/(Z, +Z3)
- коэффициент отражения на границе однородных полупространств 1 и 3 (ср.
с формулой (2.29)).
Обратимся теперь к прошедшей волне в среде 1. Звуковое давление в ней
Пуде! снова даваться формулой (2.18), где необходимо найти коэффициент W.
Из условия равенства поля в слое (2.44) давлению в прошедшей волне на
границе 2=0 имеем
W = А +В. (2.51)
С другой стороны, записав падаюшую и отраженную волиы в среде 3 как ехр[-
ik3(z - d)cos03] н l^exp\ik${z - d)cos 03J, получаем из равенства
давлений с обеих сторон границы:
1 + V = A exp (iip) + В exp (-i*p). (2.52)
Поделив (2.51) на (2.52) н воспользовавшись формулой (2.45), находим W =
(1 + V) (cosip - / sin ip Z2/Zj) -1. (2.53)
3* 35
Подстановка выражения (2.49) дл^ V в (2.53) дает W = 4Z,Za[(Z,-Z2){Z2 -
Z3)exp(i" +
+ (Zi + Z2)(Za +Z3)exp(-/i^)]"I.
(2.54)
При d -* 0 из (2.53) получаем формулу (2.22), а из (2.54) - формулу
(2.30). Когда d Ф 0, но Z2 -* Zl3 соотношение (2.53) дает W = = (1 +
V)exp(iip), а (2.54) - W = 2Z, exp("V)/(Z, + Z3). Эти соотношения
отличаются от выражений (2.22) и (2.30), полученных в п. 2.2, только
фазовым множителем exp(/V), который своим происхождением обязан смешению
начала отсчета фазы преломленной волны на расстояние d.
Интересен другой вывод выражения для коэффициента отражения.
Результирующую отраженную от слоя плоскую волну можно рассматривать как
суперпозицию следующих волн (см. рис. 2.4): волны, отраженной от верхней
граиицы слоя (граница 3-2; первым мы ставим номер среды, откуда падает
волна) (а), волны, проникшей через верхнюю границу, прошедшей через слой,
отразившейся затем от нижней границы (границы 2-1), прошедшей снова через
слой и, наконец, вышедшей из слоя через его верхнюю границу 2-3 (6);
волны, проникшей в слой, имеющей два отражения от нижней границы, одно -
от верхней, прошедшей дважды туда и обратно по слою и снова вышедшей из
слоя (с) и т.д.
При каждом отражении от границы i - j изменение комплексной амплитуды
волны дается множителем Vilt при прохождении границы - множителем Wtl;
однократное прохождение слоя дает набег фазы*) Здесь \р определена в
(2.48), а коэффициенты отражения и прозрачности отдельных границ, в
соответствии с результатами п. 2.2 (см. формулы (2.22) и (2.29)),равны
Vti = {Zf-ZM&i+Zi). У/i = -Vtb Щ я 1 + vih
/,/=1,2,3. (2.55)
Положим амплитуду падающей волиы равной единице. Суммируя все "волны, из
которых формируется общая отраженная волна, для ее амплитуды (т.е. для
коэффициента отражения V от слоя), пользуясь формулой суммы бесконечной
геометрической прогрессии, находим
V32 + W33V2iW23exp(2i^) 2 [V3 3V2i exp (2i"f =
n = 0
= V32 +^31 V2xW2i exp (2/*)/[l - V23V21 exp(2iV)j. (2.56)
После несложных преобразований, используя формулы (2.55), получаем
V = [Угг + V2i exp (2i"]/[l + Уъг V21 exp (2*V)]. (2.57)
Точно таким же образом, суммируя все лрошедшие волны, находим коэффициент
