Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
решения которой отыскиваются элементарно. Резонанс возможен при М > 2;
при2< М < 23/3 существует единственный резонансный угол падения
sin 0j= 2/Л/. (2.95)
При М> 23/2 появляются еще два резонансных угла:
sin 0, -2/{Л/± [М2 +4-4(1 +Л/2)1/2]1/2 }. (2.96)
Отметим, что аналогично можно отыскать также резонансные углы в более
общем случае, при р\с\ = ръс\, что для газов соответствует равенству У\
=72-
Усиление звука при отражении не противоречит закону сохранения энергии:
при отражении звуковая волна отбирает часть энергии потока. Другими
словами, энергия преломленной волны в движущейся среде в этих условиях
оказывается отрицательной. Конечно, строго говоря, наше рассмотрение
перестает быть применимым буквально в случае падения волны под
резонансным углом. Это следует хотя бы из нарушения предположения о
малости возмущения среды звуком. Обращение коэффициента отражения в
бесконечность указывает на возникновение автоколебаний в системе, Для
обнаружения которых анализ коэффициента отражения плоских волн часто
оказывается очень удобным теоретическим средством [ 10].
Из неравенств (2.90) н (2.91) следует, что обычное отражение (| V\< 1)
происходит при углах падения, удовлетворяющих неравенству
1 /sin 0J > (ц2 - + с2)/ft. (2.97)
В частности, если vx - и2 > с2 - ct, то при всех положительных углах
падения I К|< 1. Коэффициент отражения обращается в нуль при углах
падения, являющихся (как следует из (2.89)) корнями уравнения (2.93),
удовлетворяющими неравенству (2.97). Для идентичных граничащих сред
соответствующие значения 0 \ легко найти явно из системы (2.94). Если
относительная скорость отлична от нуля, то соотношение V = 0 выполняется
45
1-
Рис. 2.6. Угловая зависимость модуля коэффициента отражения от границы
идентичных движущихся сред
Рис. 2. 7. Линии уровня коэффициента отражения V как функции угла падения
и относительной скорости сред с равными значениями скорости звука.
Заштриховала область полного отражения, где величина V принимает
комплексные значения. Форма линий уровня не зависит от плотностей сред.
Числовые значения V на рисунке относятся к случаю о, * 2р,
46
при двух значениях А,: при A j * 0 н при
sin А, ** 2/{ Af + [М1 + 4+4(1 +Д/2)1'2] *'2 >.
(2.98)
Заканчивая анализ коэффициента отражения плоской волны от границы
однородных движущихся сред, приведем в качестве иллюстрации зависимость
величины | V | от угла падения при М = ± 3 (рис. 2.6) н картину линий V -
const на плоскости (А ь Af) (рис. 2.7).
Некоторые случаи отражения плоских воли от движущейся среды, когда между
двумя полупространствами заключен однородный слой, рассмотрены в работах
[138, 513, 553]. Отражение звука тонкой упругой пластиной на границе
движущихся сред исследовано в работах [181, 184].
§ 3. Отражение монохроматических плоских волн от иепрерывио-слоистых
сред: точные решения
Точные решения волновых уравнений в непрерывно-слоистых средах существуют
только для немногих видов стратификации среды, задаваемой функциями c(z),
p{z). а в движущейся среде - и функцией v0(z). Однако они представляют
существенный интерес в качестве идеализированных моделей и первых
приближений при решении Практических задач, для определения условий
применимости приближенных методов и в других целях. Этим обьясняется
неослабевающий интерес к выявлению стратификаций среды, допускающих
точные решения волновых уравнений.
В настоящем параграфе мы рассмотрим отражение плоской звуковой ' волны,
падающей из однородной жидкости на непрерывио-слоистое жидкое
полупространство. Этой задаче посвящена обширная физическая и
математическая литература. Часть полученных результатов с той илн иной
полнотой освещена в монографиях [52, 83, 103,352, 540]. Необходимые
ссылки на оригинальные работы мы будем прнводвть по ходу изложения.
Сначала будем считать среду неподвижной. Это ограничение будет снято в п.
ЗН.
3.1. Общие соотношения. Пусть при г > 0 среда однородна и
характеризуется скоростью звука Cj и плотностью Р\. В слонсто-
иеоднородном полупространстве г < 0 скорость звука c(z) предполагается
достаточно гладкой функцией z. а плотность среды - постоянной и равной
р2, Из однородного полупространства (верхней среды) падает
монохроматическая плоская волна единичной амплитуды
pi ~ exp [/(?лг - yjk\ - ?2z)], о/сь ^ ~ Jfc, sin A, z>0. (3.1)
Здесь временной множитель exp(-icjt) опушеи, A - угол падения волны.
Геометрию задачи поясняет рис. 3.1.
Отраженную волну в верхней среде запишем как
рг = Гехр [/(?х + >/*? - ?2z)], 2>0. (3.2)
Звуковое поле в нижней среде р(г, оз) " Ф(г) ехр(/?х) удовлетворяет
уравнению (1.38), откуда получаем d2 Ф . ,
- +(*2-{2)Ф = 0. к = *(*)._ г<0. (3.3)
dz2 с(г)
47
Рис. 3.1. Геометрия задачи об отражении плоской волны от слоистого
полупространства (д) и профиль скорости звука c(z) {б), в -угол падения
Физический смысл имеют только конечные значения р. Мы будем считать, что
уравнение (3.3) имеет по крайней мере одно ограниченное решение. Когда
