Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
приЯ-"-0
" ds / R2\ \1/г ,
/ -^3^- ехр(/А, -j =g" e 7 ) R - (15-49)
Согласно (15.28) p(r,r0) ~-1/4этЯ при Л ->О. Поэтому следует положить го
= (*/32 я3)1'1 е3*"4. (15.50)
Таким образом, решение (15.48), (15.50) удовлетворяет волновому уравнению
прн г #г0, принципу, предельного поглощения и условию в источнике.
Следовательно, формулы (15.48), (15.50) дают поле точечного излучателя в
слоистой среде с показателем преломления (15.44). Можно убедиться, что
прн q -*0, когда среда становится однородной, полученное решение сводится
к сферической волне р(г, г0) = - (4яЛ ) ''ехр (ik1NR).
Решение для среды с п2 (z) -N2 - I q \2 z2 строится аналогично
изложенному выше. Его можно получить нз (15.48), полагая q=i\ q I. При
этом гиперболические функции переходят в тригонометрические. Чтобы
подынтегральная функция не была сингулярной во внутренних точках контура
7, его следует сместить с вещественной оси в четвертый квадрант
комплексной плоскости s. В работе [393] полученные решения подробно
анализируются в случаях волноводного н антившноводного распространения.
Там же построено аналогичное (15.48) точное решение для поля
параллельного оси Ох линейного источника в двумерно-неоднородной среде с
п2 = = N2 + Ау2 +Bz2.
Как предельный случай формула (15.48) содержит решение для линейной
зависимости п2 (z). Чтобы получить его, перейдем в сдвинутую вдоль оси Oz
систему координат: хх = х,ух =y,zx -z -b/q2. Пусть в координатах xl,y1>zl
функция п2 описывается законом (15.44): h2(zj) =N2 + + q2z 2, где N2 =N2
-b2 jq2. Тогда в исходной системе координат л2 (z) = = N2 -2bz + q2z2. В
пределе <7 ->-0 получаем линейный профиль. Записывая решение (15.48),
(15.50) в координатах qx,zx и устремляя q к
344
нулю, находим
к \Ч* ** ds р(г.Го) = ез,,_х
f Г " , r2+(2-Z0)3 62S3 Ц
X exp {ikt (N2 +b(z +z0)) + ----------------- - - jj. (15.51)
Если известно поле точечного источника в среде с четной функцией п2 (z)
*п2 (-z) (например, (15.48) для профиля (15.44)), то легко
сконструировать поле р в полупространстве с той же зависимостью п2 (z),
ограниченном абсолютно мягкой или абсолютно жесткой плоскостью z = 0.
Действительно, пусть
*45S(*o>J'o -Zo), Мл''о)=р(',,'о)±Р(,,,',1)-Тогда р_ | 2 = о = 0,
(dp+/dz) | 2 = о "0. Ясно поэтому, что р_ (р+) дает поле точечного
источника в полупространстве с абсолютно мягкой (жесткой) границей.
Используя результаты п. 3.7, легко представить в виде интегралов от
элементарных функций поля точечного источника в средах, где наряду со
стратификацией п2 по линейному или квадратичному закону имеется
стратификация плотности, описываемая одной из формул (3.164). Однако мы
на этом останавливаться не будем.
15.3. Нормальные волны. На практике применяются различные способы
вычисления поля точечного источника, включая прямое численное
интегрирование по формулам (15.34). Однако прн наличии волновода чаше
всего из (15.34) выделяют глав.ную часть - незатухающие или слабо
затухающие нормальные волны. Эта часть н будет в основном определять поле
на больших расстояниях.
Сместим контур интегрирования во втором из представлений (15.34) для р(г,
г0) с вещественной оси-на бесконечную полуокружность в верхней
полуплоскости. На бесконечности функция Н0^ (? г) стремится к нулю. Можно
показать, что интеграл по бесконечно удаленным частям контура
интегрирования будет исчезать. В результате путь интегрирования "повн-
сает" на особых точках подынтегрального выражения, которые приходится
обходить при деформации контура. В качестве таковых прежде всего надо
учитывать полюсы / = 1, 2,. . ., местоположение которых определяется
дисперсионным уравнением w*(?,z0) =0. Из сказанного после формулы
(15.32) ясно, что решения дисперсионного уравнения не зависят от
положения источника. Будем предполагать, что все нули вронскиана и"
простые. Тогда, сумма вычетов в полюсах равна
р = у- 2р1а,,г<)р2Й,,7>)(Э№/Э?Г51,Я"'1>(?,г)5,. (15.52)
Ее называют дискретным спектром поля, а отдельные слагаемые - нормальными
волнами или модами. Помимо,полюсов, особыми точками подынтегрального
выражения могут быть точки ветвления. Если при z -*
+ °°> k(z) -+к1г2, то, как можно показать (см. п. 6.2), ? =kit2 будут
точками ветвления. Тогда от них необходимо провести разрезы, и к правой
345
части (15.52) добавятся интегралы по берегам разрезов. Это так называемый
сплошной спектр, или боковые волны. О иих речь шла в § 14.
Рассмотрим поле отдельной нормальной волны. При г Ф 0 оно удовлетворяет
волновому уравнению н условиям прн z -*¦+<*> (илн на границах,
расположенных при z <z0 и z>z0). Отдельная мода не удовлетворяет условию
в источнике н вообще теряет смысл при г = 0. Поскольку w(?hz0) =0, то
функции Pi^dhZ) оказываются линейно зависимыми. Значит, pi(?i,z)
удовлетворяет одномерному волновому уравнению и обоим граничным условиям.
В соответствии с математической терминологией pi(?/,z) является
собственной функцией, а ?; - собственным значением оператора p(d/dz) (р-1
