Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
источник силы имеет дипольный характер, а источник объемной скорости
обладает монопольной н дилольной составляющими. Монопольное излучение
дает комбинация источников силы и объемной скорости, В которой/о = PZ0V0.
В общем случае точечный источник с произвольной направленностью приводит
к появлению в правой части волнового уравнения линейной комбинации 5 (г -
г0) и производлых различных порядков от 6 (г - г0) [72, § 8.4]. Пусть
известно поле р(г, г0),созданноеисточником6(г -г0) (т.е. функция Грина).
Поскольку левая часть волнового уравнения ие зависит от г0, поле
источника (bl+m+n/bxlbymbzn) 8 (г - г0) легко найти, дифференцируя
уравнение для р(г, г0) по координатам источника. Оно равно (~\)1+т +
п(Ъ1+т + п1Ъх\Ъу,оЪг1)р{г, г0). В силу линейности волнового уравнения
поле произвольного точечного источника, таким образом, выражается через
р(г, г0) и производные от этой функции. Поле произвольного
распределенного источника выражается объемным интегралом по г0 отр(г,г0)
по области, занятой источником. Поэтому в дальнейшем, рассматривая
звуковое поле в слоистой среде, мы сосредоточим внимание на функции
Грина.
В непрерывно-слоистой движущейся среде спектральная компонеи-тар(?,г)
поляр (г, г 0), согласно (15.9),удовлетворяет уравнению
^ ^-1п Р/52 + - IV = (2*Г2 8(г - *,)е-'"г". (15.29)
bz bz bz
Из (15.28) видно, что при г -+ г 0 и v0=0 давление р(г ,г0) имеет
особенность вида |p(r, г0) | "в 1/(4тт|г - г0 |). Характер особенности
p(?,z) при z =z0 можно установить, интегрируя (15.29) ло z в окрестности
z0. Подобно случаю однородной среды получаем (ср. (15.23))
тМ = (2я)',ехр(-|Т''.).[РЬ = ". " 0. (15.30)
Ьг Jr=z0 e
Решение уравнения (15.29) должны удовлетворять определенным условиям при
z -*¦ ±<*> или на границах, если пространство не безгранично по 2.
Обозначим через рх 2 (?. 2) не равные тождественно нулю решения
однородного уравнения, удовлетворяющие, соответственно, условию прн z -*¦
-00 (илн на границе, расположенной при z < z0) н условию при z -*¦ + оо
(иди ва границе, расположенной при z > z0). Тогда p(f, z) = = А\Р\ ((> z)
ПРИ 2 < zo KP(t, z) = АгРг ((,2) при z > z0. Значения достоянных Ai,2
определяются условиями (15.30), В результате находим
p({,z) = (2v)~2 e-l(r' Pi (f, zK)'p2 ((, z>)/w((, z0),
z< = min(z, z0), z> = max(z, z0). (15.31)
340
Здесь w({, г) - вронскиан:
w = pi(tz)bp2(t,z)!bz~p2(t,z)bpl(tlz)fdz. (15.32)
Мы предполагаем, что w Ф 0 *) при вещественных (. Дифференцируя
(15.32) по 2 и используя (15.29), легко убедиться, что (9/9z) (w/p/J2)
* = 0, т.е. это отношение зависит только от {, В частности, w = ч>(|) в
неподвижной среде с р = const.
Отметим, что p((,z) можно выразить также через коэффициенты отражения
плоских волн и поля, возбуждаемые ими при отражении от слоистых
полупространств z > z0 и z < z0 [52, § 47.2].
Для искомой функции p(rf г0), используя (15.31), получаем интегральное
представление
р(г,' о) =
= (2jtу2 If'i(,J(2expli((r-r0)]p,(f,z<)Pl((,z>)-^-
w((,z0) (15.33)
В неподвижной среде рх 2 не зависят от ориентации вектора {. Переходя к
цилиндрическим координатам (12.2) и повторяя рассуждения п. 12.1, находим
для этого случая 1
РС.Го) = - / - ^в(1'-)Р|(1,г<)Ргй,г>) =
2п о w(f, z0)
= w'oI)(f'-)Pi(l.z<)p2(tz>), (15.34)
4v -" w(i z0)
где г = [(* - х0)2 + (у - >-0)2]1/2. Представление поля точечного
источника через интеграл от решений одномерного волнового уравнения можно
получить и в трехмерно-неоднородной среде, если квадрат волнового числа
задается в виде суммы трех функций, каждая из которых зависит только от
одной координаты, и, следовательно, переменные в волновом уравнении
разделяются [55].
Во всех тех случаях, когда для произвольных значений ( удается найти
точные решения одномерного волнового уравнения (они рассмотрены в § 3),
интегральные представления (15.33), (15.34) дают точные решения задачи о
точечном источнике. Рассмотрим, например, неподвижную среду со степенным
профилем плотности и линейным профилем скорости звука:
k(z) = ktz,/z, p(z) = p,(z/Zif. (15.35)
Здесь > 0, pj > 0, z! > 0 и а - постоянные. Прн z - 0 скорость звука
обращается в нуль. Будем рассматривать полупространство, в котором
*)Это условие будет заведомо выполнено, если учитывать диссипацию энергии
волн в среде. Оно необходимо для того, чтобы переход от координатного
представления поля р (г) к спектральному р ({, z) при помощи
преобразования Фурье был обоснованным. Там, где это не приводит к
неопределенностям, от требования отсутствия нулей w({, г) при
вещественных значениях { можно отказаться, рассматривая звуковое поле в
непоглощающей среде как предел поля в среде с диссипацией в случае, когда
последняя стремится к: нулю.
341
скорость звука положительна, и примем z 0, z0 > 0. Звуковые волны с
гармонической зависимостью от горизонтальных координат для среды вида
(15.35) рассматривались в пп. 3.2 и 3.7. Было показано, что р(%, z)
выражается через цилиндрические функции, и определены их параметры (см.
