Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
помешенного в слоисто-неоднородную жидкость. Рассматриваются, в
частности, эффекты, обусловленные движением среды. При этом, как и в
предыдущих главах, течения предполагаются устойчивыми. Объем книги не
позволяет нам осветить близкий вопрос -об упругих волнах от источника в
твердом теле, но по ходу изложения будут даны ссылки, восполняющие этот
пробел. В § 15 описаны свойства симме1рии звукового поля относительно
перестановки источника и приемника, справедливые в произвольной слоистой
среде. Указаны случаи, допускающие точное аналитическое вычисление поля
точечного источника. Из точного интегрального представления выделен
дискретный спектр звукового поля. Анализу акустических волн на основе
лучевого метода и его обобщений посвящены § 16 и 17. Все изложение
существенно опирается на результаты глав 1-3.
§ 15. Тоадая теория распространения звука в слоистой среде
В гл. 1 подробно исследованы не зависящие от вида слоистой среды свойства
звуковых полей с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и
времени, а также точные решения волнового уравнения в тех случаях, когда
нх удается найти аналитически. В настоящем параграфе аналогичные вопросы
рассматриваются применительно к акустическим полям, возбужденным
сосредоточенными источниками звука,
15.1. Соотношения типа взаимности. Звуковые поля обладают определенной
симметрией относительно перестановки источника и приемника. Если
некоторая характеристика поля инвариантна относительно перестановки, то
говорят, что эта физическая величина удовлетворяет принципу (илн
соотношению) взаимности.
Чтобы учесть источники звука в системе акустических уравнений (1.6) -
(1.8), к правым частям уравнения Эйлера (1.6) и уравнения непрерывности
(1 -7) нужно добавить соответственно //р и ра, где /на - объемные
плотности источников силы и объемной скорости [128, гл.9, 10]. Если / = =
/06 (г - г0) или а = а0б (г - г0), то говорят о точечных источниках силы
или объемной скорости. Запишем систему акустических уравнений,
предполагая VpQ = 0, v0Vp = 0 (эти предположения справедливы в
неподвижной трехмерно-неоднородной среде и в стационарной слоистой среде
с горизонтальным течением) -.
dy
dt
dp
dt
+ div(pv)"pa,
P P '
(15.1)
(15.2)
333
Действуя, как в п. 1.1, получаем из (15.1) - (15.3) волновые уравнения
для неподвижной среды
др\ Vp Ьа /
-5-)_div- div- (15,4)
bt / р bt р
bt \рс2
J-\A(J- _ djv vpl +2/^vVI Эрч .
dt [dt \pc dt / p J \dz J\o bz )
d /da f\ /d\Q \ /3
= - (- -div-)+ 21- V)- . (15.5)
dt \dt p) \dz } p
Здесь /3 - г-компонента вектора f. От (1.11) и (1.15) волновые уравнения
отличаются только своими правыми частями.
В дальнейшем будем считать среду стационарной, а волны -
монохроматическими. Получим соотношеине взаимности в неподвижной среде.
Пусть сосредоточенный в ограниченной области пространства источник а^\
создает звуковое давлениеp^'\r), j = 1,2. Домножим уравнение (15.4),
записанное для р*1 \ на и вычтем из него результат умножения на р*1 *
того же уравнения для р*2*. Тогда
p<*Mivp_1 (Vp^2* -/<2*) -p*2*divp-1 (Vp^1 ) - /<*)) =
= /со[р<1^д^2^ . (15.6)
Левая часть (15.6) тождественно равна
divp'1 [p<*>(Vp<2> -p<2>(Vp<1>-/<*>)I +
+ iCO[/<2>V<1 > ~ /<* >v<2>].
Проинтегрируем (15.6) по некоторому объему 12. Интеграл от дивергенции
сводится к интегралу но ограничивающей объем поверхности S. Прн
неограниченном расширении 12, когда поверхность S становится бесконечно
удаленной, поверхностный ннтеграп обращается в нуль согласно принципу
предельного поглощения. Следовательно,
/d'lW" - /<2М<>] = /d3r[a(,)p(2) - /ОМ2)] (15.7)
где интегрирование ведется по всему пространству. В частности, для
точечного источника имеем
"fV'Vo - /<2)"'(,)ы - "SV'ty.) - /''М2^,). (15.8)
Тождества (15.7), (15.8) выражают принцип взаимности. Для источника
объемной скорости его обычно формулируют так: давление, создаваемое в
точке г2 источником, находящимся в точке равно давлению, создаваемому в
таким же источником, помещенным в точку г2. В случае точечного источника
силы характеристикой поля, инвариантной относительно перестановки
приемника и излучателя, согласно (15.8), 334
оказывается проекция скорости частиц на направление силы. Отметим,. что
принцип взаимности справедлив и прн комплексном к2, тл. в поглощающей
среде.
В случае движущейся жидкости рассмотрение иачием с воли, гармонически
зависящих от горизонтальных координат: p(r) = р(z, () exp(jfr). Согласно
(15.5), имеем
Гармонические волны можно рассматривать как спектральные компоненты
разложения исходного волнового поля в интеграл Фурье по горизонтальным
координатам. Тогда а(?) н f(f, z) - спектральные компоненты функций а (г)
и /(г ), характеризующих источник.
Будем обозначать тильдой над буквой величины, относящиеся к среде с
''обращенным потоком", т.е. со скоростью течения - v0(z) и неизменными
профилями k{z), p(z). Поскольку 0(-?,z) = 0(?,z),p(-?,z) удовлетворяет
тому же уравнению (15.9), что и р((, z). Вновь вводя индекс для
