Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
обозначения источника и действуя, как при выводе (15.7), из (15.9)
находим
где i>з - z-компонента скорости. Согпасно(15.10), для источника объемной
скорости с гармонической зависимостью exp(ffr) от горизонтальных
координат, сосредоточенного на некотором горизонте z = z0, теорему
взаимности можно сформулировать следующим образом. Звуковое давление,
деленное на величину 0, зависящую от скорости течения иа горизонте
приемника, остается инвариантным относительно перестановки источника и
приемника, если одновременно изменить на обратные направления векторов (
и Vo(z). Аналогично можно выразить словесно теорему взаимности для
источников силы.
Соотношение взаимности для спектральных величин (15.10) справедливо
также, когда среда ограничена горизонтальными абсолютно мягкими,
абсолютно жесткими или импедансными границами. В этом случае
интегрирование ведется в пределах толщины слоя жидкости. Соотношение,
аналогичное (15.10), справедливо также для р(fc z), (?, z),
fro
(15.9)
(15.10)
335
т.е. спектральных компонент .полей разных источников в одной и той же
движущейся среде.
При v0 = 0, интегрируя (15.10) по ? и учитывая тождество
/Ml.dbF.f-f,*)^,2) = // dxdyF, (r)F2(r), (15.11)
справедливое для любых функций 2 (г) имеющих спектры Fx 2 (?> г)> мы
получаем соотношение взаимности в координатное представлении. Оно
совпадает с (15.7). В движущейся среде переход к координатному
представлению приводит к более громоздким соотношениям. Даже для
точечного источника соотношение типа взаимности имеет, вообще говоря,
нелокальный вид, связывая р(г) н v(r) в точках расположения источников н
в точках, лежащих выше по потоку [96]. Локальную формулировку можно
получить, перейдя к другим характеристикам звукового поля. Так, вводя
величину Ф(г) равенствомр =d$>)dt = (-iaJ + v0V)$, для точечного
источника объемной скорости из (15.10) и (15.11) находим
в<;>5(2>(г,) = фФ\Г).
В тех случаях, когда член с d\0fdz не дает вклада в интегралы (15.10),
локальную формулировку соотношений типа взаимности для: точечного
источника удается получить и для имеющих непосредственный физический
смысл величин: давления р, смещения частиц D от траектории их движения в
невозмущенном звуковом потоке и скорости v = dDjdt, Так, при Vo = const
равенства (15.10) и (15.11) дают
a(J)p(1)(^г,) = - /(1,v<2>(r,). (15.12)
Это тождество отличается от (15.8) только тем, что второй источник
работает в среде с противоположным направлением течения. Заметим, что
/)(^, z) = iv(?, z)/w0(?, z). Пусть точки гг и г2 находятся в областях
локально однородного течения, где d\0ldz = 0. Тогда согласно (15.10) и
(15.11) для источника силы, т.е. при = 0, имеем / (гг) =
- f (г2)~ Для источника вертикальной силы это соотношение
справедливо при произвольном расположении точек г j 2. с Интересно, что
полученные выше соотношения (15.8), (15.12) н другие без изменений
переносятся на акустико-гравитационные волны [96].
Соотношения типа взаимности, устанавливающие перекрестную связь между
источниками и полями в средах, различающихся направлением течения
(например, (15.12)), называют теоремами обращения потока. Долгое время
было принято считать [270, 182, 29], что принцип взаимности в движущейся
среде не выполняется, и альтернативой ему служит теорема обращения
потока. Покажем, что н для движущейся среды в некоторых случаях удается
доказать соотношение взаимности, если надлежащим образом выбрать
физическую величину, характеризующую звуковое поле. При этом соотношение
взаимности и теорема обращения потока могут быть справедливы одновременно
[96].
Рассмотрим звуковое поле в однородной жидкости с v0 = const. Область J2,
занятая ею, пусть будет ограничена цилиндрической поверхностью S с
образующей, параллельной vq. В частности, S может состоять из двух
горизонтальных плоскостей. Ось Ох направим параллельно век-
336
тору Vo. Звуковое давление, в соответствии с (15.5), удовлетворяет
уравнению
Здесь - плотность объемных источников. Предположим, что иа поверхности S
заданы импедансные граничные условия:
где п(г) - едвничная внешняя нормаль к S; F W - поверхностная плот-ность
сторонних сил, приложенных к S.
Попучим для этой задачи теорему обращения потока. Домножая урав* ненне
(15.13) с / = 1 на р^2) н вычитая нз него результат умножения на рО) того
же уравнения, записанного дляр^2), находвм
Проинтегрируем (15.15) по объему fI. Отбрасывая на остове принципа
предельного поглощения интегралы по бесконечно удаленным поверх-ностям н
учитывая граничные условия (15.14), получаем
В таком виде и записывается теорема обращения потока.
Для вывода соотношения взаимности вычислим разность между результатами
умножения волнового уравнения, записанного для р^1\ на Е(рс)р^ и
умножения того же уравнения для р^2^ на Е(х)р^\ где Е(х) - пока что
произвольная функция. Таким образом получаем
(15.13)
с
с
a(r,M)(nV)pW + y(r,M)\pW - F<fl(r)] = 0, r&S,
(15.14)
= ?0)р(2) __ 0(2)рО)
(15.15)
/ &l)pWd3r + f dsFV\nV)p(2) = / (?<2)p(1)tf3r +
