Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(3,26)).
Общее решение однородного уравнения для р(?, z) запишем в виде
РЙ.2) = 2"/2+1'2ИА,(М + л2/т(М], (15 36)
т = [(а + 1)2/4- fc]z]]112, Rem > 0.
Здесь Кт и 1т - модифицированные функции Бесселя [240, гл. 9]. Их
вронскиан равен
*;0)Л*0) - КтОКтО) = Чу- (15.37)
При у
*тО) = /тО) = (2пу)-Ч2е>'\1+0(у-')].
(15.38)
Ясно, что решение р2> удовлетворяющее условию ограниченности поля при z -
*¦ +°°, получается из (15.36) при Аг - 0. Для выбора решения рх
необходимо рассмотреть поведение поля при z -*¦ 0. При этом Кт(&У имеет
логарифмическую особенность, a Im(?z) ~ Г-1(1 +m)($z!2)т [240, гл. 9].
Вычисляя по формуле (2.11) z-компоненту вектора плотности потока
мощности, можно убедиться, что лишь при А{ =0 поток энергии звукового
поля (15.36) через поверхность г - 0 будет конечным. При учете (15.37)
легко определить вронскиан найденных решений. Подставляя ихв (15.34),
получаем
Р(Л'о) = ~(21+"/2Г')''2 / (15.39)
2я о
Интеграл в правой части (15.39) является табличным. Взяв,его значение из
{221, с. 395] и обозначая Rl = [г2 + (z0 + z)2 ]1I2, находим (z1+"zj-а)Ч2
/Л, R\m
-2nRRx
(z1+*z^ а)1/2 [ / (a +1)2 R ]
= -МЯ, exP 121 k\ z\ - - arth]. (15.40)
Первым из выражений для p(r, r0) удобно пользоваться при вещественных, а
вторым - для мнимых значений т. Для среды с р = const, т.е. при а - 0,
результат (15.40) был получен Пекерисом [470].
Частота сравнительно просто входит в формулы (15.40): kx & cj, а
остальные параметры, кроме т, от cj не зависят. Это позволяет вычислить
преобразование Фурье по со от р(г, г0) и тем самым найти звуковое
давление в случае, когда источник излучает 5-образный импульс. Оно
состоит из двух компонент: импульса б(т - г), где т - время
распространения звука от источника, и ''хвоста", начинающегося при t = т
и медленно спадающего при ?-*¦¦", давление в котором ограничено и
выражается через функцию Бесселя первого порядка. При переходе к
однородной среде
342
амплитуда второй компоненты обращается в иуль. В предположении р * =
const анализ импульсного излучения был проведен в работе [549]. Используя
формулы (15.40), его легко распространить на случай плотности,
стратифицированной по степенному закону.
Для других неоднородных сред, помимо (15.35), точные решения волнового
уравнения с точечным источником в терминах элементарных или изученных
специальных функций неизвестны. В слоистой среде с квадратичной
зависимостью к3 от z удается представить р(г, г0) в виде интеграла от
элементарной функции [393]. Он значительно удобнее для вычислений и
асимптотического анализа, чем (15.34), где в рассматриваемом случае pi
2(?z), как показано в п. 3.2, выражаются через функции параболического
цилиндра. Ниже в п. 15.2 мы в основном будем следовать Холфорду [393].
Пусть р = const, vо = 0. Показатель преломления определим равенством n(z)
= k{z)jk\, kt = const. Волновое уравнение (15.4) сводится к уравнению
Гельмгольца Ар + к]п2р = 6 (г - г0). Его решение будем искать в виде
интеграла по контуру у, начинающемуся в точке s = 0и уходящему на
бесконечность в комплексной плоскости s:
Р(Г, г0) = / ехр [iktf(r, z, z", s)]j-(s)ds. (15.41)
7
Подействуем на (15.41) оператором А + к\п2:
Ар + к\п2р - / {[л3 - (V/)2 ]к\ +ik1Af)exp(iklf)gds.
7
Если выполнены услоаия
л2 - (V/-)3 - Ibffbs, (15.42)
Af - -Э(1п g)fds, (15.43)
'то при любых к\ выражение под интегралом будет полным дифференциалом (-
2ifcjds) (bjbs)g exp(ifcj/) и (15.41) будет удовлетворять волновому
уравнению, если g exp(ikif) ->О при s ^О, 00 иа 7.
Рассмотрим среду с показателем преломления
n2(z) = N2 + q2z2. (15.44)
Функцию f, удовлетворяющую условиям (15.42), (15.43) будем искать в виде
квадратичной формы от координат, симметричной относительно перестановки
источника и приемника;
f = а, + 0,5 [а2 г2 + a3(z - z0)2 + a4(z +z0)2]. (15.45)
Подстановка (15.45) в (15.42) приводит к системе пяти обыкновенных
дифференциальных уравнений иа коэффициенты ff/(s):
N2 = 2ai, а) = -a%, q2 = (а, *а,)' + (а3 +а4)2,
("з -""У * "4 - "з. (аз = -("з -
Ota имеет два набора вещественных решений: а, = - ^V2(s + Sj), а2 ~ (s +
s*)"1,
<*г +e4 (r)<7Cth q(s + $э)> "э-*л4 " *<?/shq(s + S3).
(15.46)
(15.47)
343
Из (15.43) находим ^(s) - goqlf2l(s + s2)shll2q(s + s3)-Положим = - s2 -
S3 = 0и будем считать q > 0. Выберем верхний знак в выражении для а9 -
аА. (Из дальнейшего будет видно, что иной выбор знака не приводит к
правильному поведению р прн г -*¦ г0.) Тогда функции f и g аналитически
зависят от s и не имеют особенностей при Res > 0. Произведение gexp(ikxf)
-* 0 прн s -*• +°° из-за множителя sh- 1 в g(s). Прн s -*¦ 0 функция f "
R2 jls и gexp{ikxf) будет стремиться к нулю, если кх имеет сколь угодно
малую положительную мнимую часть. Поэтому контур 7 можно провести вдоль
вещественной осн. Тогда
¦V'2*
Р(г, Го) - go /------777- X
о ssh I qs
( Г N2s ** Я - qs q " qs \\
Xexpli*, 1-^- + - + -(z-z0) &h~ +-(г+г0) th^-J} ¦ '
(15.48)
Подьштегральная функция имеет особенность при s =0, благодаря которой
