Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
З/Зг) + к2 (г), взятого вместе с граничными условиями. Нормальные волны,
для которых вещественно, являются незатухающими. В любом реальном
волноводе их число конечно, фазовая Cpj, = oijij и групповая cg = do>/d?,
скорости мод зависят от их номера / и частоты.
Если жидкость ограничена идеально отражающими или импедансиыми границами
или I при I z \ то боковые волны отсутствуют,
и ряд (15.5 2) дает точное решение задачи о точечном источнике. В § 3
были рассмотрены зависимости с (z), fJ(z), для которых известны точные
решения одномерного волнового уравнения для любых ? (см. также [9, 121]).
Для них Pi,2 (?>z) выражаются через известные специальные функции, а
дисперсионное уравнение сводится к алгебраическому. В ряде случаев его
решения удается найти явно. В задачу этой книги не входит сколько-нибудь
подробное изложение теории нормальных волн и волноводного
распространения. Подробное исследование поля нормальных волн в дискретно-
слоистых волноводах, в среде с профилем Эпштейна, в волноводе и
антиволноводе с линейным и квадратичным профилями к2 (z) проведено в
монографии [52, гл. 5, 7-9]. В литературе рассмотрено также значительное
число других конкретных профилей к2 (z). В общем случае для отыскания
собственных функций и собственных чисел одномерного волнового оператора
используются асимптотические и численные методы [113, 185]. При этом
основную сложность представляет решение дисперсионного уравнения.
Некоторые обише свойства нормальных волн рассмотрены в [247,528].
Волноводы в твердом теле исследовались в работах [47, 49, 50, 290, 412;
4, гл. 7 и др.].
Чтобы выделить нормальные волны в звуковом поле в движущейся среде, будем
исходить из интегрального представления (15.33). Будем считать, что в
среде имеется диссипация воли, хотя бы сколь угодно слабая. Не
ограничивая общности, положим х0 = уо = 0, перейдем к цилиндрическим
координатам (12.2) и обозначим
F(?, Ф, г, г0 ) з р, (|, ф _ г<) р2 (J, ф,. г >)/w( ?, ф, z0).
(15.53)
Тогда, опуская для краткости записи аргументы г и z0 у функции F, имеем
1 v?+3*/2 -
Р(т< г°) = 7Т" f f tf(t.^)exp[fJrcos(*-i^)]dt. (15.54)
4jt ч>-ч12 о
Отметим важные для дальнейшего свойства подынтегрального выражения в
(15.54). Поскольку в волновом уравнении н граничных условиях иа 346
поверхностях раздела сред коэффициенты зависят от параметров ? и
^аналитически, мы будем считать, что функция Fy определенная при ? О,
допускает при любом фиксированном ф аналитическое продолжение на
комплексную плоскость ? (возможно, с разрезами); полюсы ?=?;(^) функции F
| ф - ponst, а также вычеты в этих полюсах являются гладкими функциями ф.
Волновое уравнение, которому удовлетворяют функции Pi 2 (?, Ф, z), и
граничные условия инвариантны относительно одновременной замены ? на - ?
и >^на +• тт. Следовательно,
F(-?,^) = F(?,^ +тг). (15.55)
В неподвижной среде волновое уравнение и граничные условия содержат
только ?2, и поэтому F - четная функция ?. В обшем случае (т.е. прн v0 ^
0) представим F в виде F(?, ф) =Fj (?, ф) +%F2 (?, ф), где
Г1&Ф)=
(15-56)
Ъ №• *) = тг № Ф) - *)]
- четные функции ?. Согласно формулам (15.55) н (15.56), имеем Рг&Ф + *)
= Л(?,^)> Рг&Ф +ff) = -F2 (?, 0). (15.57)
Соотношения (15.57) позволяют сократить диапазон интегрирования по фв
(15.54) н представить звуковое поле точечного источника интегралом
\ f+ir/2
Р(г'го)= -г S ^^ф[Фг{ф)^Ф2(Ф)]* (15.58)
2эт я/2
где
' Ф,¦(*)"/ "("(c)'"'fyf,*) cos^i+1Г - 1,2 (15.59)
и обозначено b = r cos(ijj -
Из формулы (12.9),взятой при V = 1, следует 1 sds
sin ?6 = ?й / J0($bs) - . (15.60)
Используя это тождество, преобразуем Ф] (ф):
Ф1 = f f 1 an fj ds=j i ; ~~ / №({. |
(15.61)
Последний интеграл по ? имеет тот же вид, что и в неподвижной среде (см.
(15*34)). В частности, множитель при Jo является нечетной функцией ?.
Действуя, как при выводе формулы (15.52), находим вклад вычетов в полюсах
? = ?i(i^):
ф,№) = 1Г SF{')(*){,(.*)a'(t,(")*), (15.62)
где суммирование ведется по полюсам, лежащим в верхней полуплос-
347
кости (Im (,> 0); Fj'1 - вычет F,Q, ф) в точке ( = (,((/),
1 s</s
В(Я) S "Ч vV H°)(qSh (15-63)
Интеграл B(q) выражается через интегральный синус и интегральный косинус
[221, с. 177, с. 269]. Нам в дальнейшем понадобится только асимптотика В
при Re с? -*• +°°: B(q) = ехр(й?) [1 + 0(q~l)] * (Ее легко найти методом
перевала, не вычисляя B(q) точно.)
Аналогично сводится к сумме вычетов интеграл (15.59) для Ф2. Он равен
Фа(*) = (* ^(г\ф)^(ф)В(^(ф)Ь) . (15.64)
Здесь Im ?r>0,F^ - вычет функции F2(^, ф) в точке ?= ?/(Ф)-
В неподвижной среде Фг(^) = 0, и ?; от ф не зависят. В этом
случае, заменяя в (15.63) функцию Ханкеля ее разложением по степеням
аргумента [240, гл. 9] и интегрируя по s и по ф ряд почленно, можно
убедиться, что формулы (15.58), (15.62) -(15.64) приводят к известному
результату (15.52). В движущейся среде при произвольных г интегрирование
в (15.58) не удается осуществить в явном виде.
Рассмотрим звуковое поле на больших расстояниях от источника iXir > 1) в
