Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
О) Ф — йорданов изоморфизм;
(2) существует проектор Е ? 23' П 33", такой что А \—> ь-> ф (А) Е — морфизм и А ь-> ф (А) (II — Е) — антиморфизм;
(3) (I) если U унитарен, то ц> (U) унитарен,
(II) если А = А*, то ф (| А |) = | ф (А) |,
(III) если элемент А обратим, то и ф (А) обратим и Ф (Л-1) = ф (Л)-1;
(4) ф — изометрия;
(5) ф — порядковый изоморфизм-,
3.2. Теория для случая алгебр
219
(6) сопряженное с ср отображение ср*: 93* -> 51* обладает тем свойством, что
Ф* (^ЗЗ) = %,
где Е<% и — множества состояний на 51 и 33 соответственно.
Мы докажем эту теорему с помощью серии предложений, некоторые из которых представляют самостоятельный интерес. Первое из предложений иногда называют обобщенным неравенством Шварца, потому что в случае состояний оно сводится к этому неравенству.
Предложение 3.2.4. Пусть С*-алгебры^ и 93 имеют единицы, Ф — такое положительное отображение 51 в Ъ, что ф (И) = 11, и А ? 51 — нормальный элемент, т. е. АА* = А*А. При этих предположениях
Ф (А*А) > ф (А)* ф (А).
Доказательство. Нормальность А позволяет считать, что St абелева. В таком случае = С (X), где X — некоторое отделимое компактное пространство (теорема 2.1.11). Можно считать, что С*-алгебра 58 действует в гильбертовом пространстве §.
Сначала докажем, что
2(б„ф (А'Л;) Б/)>0
ч
для всякой пары конечных последовательностей §2, € ©> ^i> ^2» •••»
Лп ? $С. По теореме Рисса на X найдутся такие бэровские меры с конеч-
ной полной вариацией, что
(li, Ф (Л) lj) = J dfig.?.(*) А (х)
х 1 1
для всех А ? 91 = С (X). Пусть йц = ^ d | Щг|;- |. Тогда ц, — положительная конечная бэровская мера, и по теореме Радона — Никодима существуют ц-изме-римые функции /ц . на X, такие что
fifSy
W =/l?-?. W (*)¦
Для всякого набора Я*.....Яя ? С
ч '
где I = J] j Xi%i. Мера положительна и
dH. S М = ( ?
Ч ‘ 1
Следовательно, . ¦
220
3. Группы, полугруппы и генераторы
при всех ..., кп ? Си ц-почти всех х ? X. Но тогда для любых Аг.Ап
S ф (КА,) S/) = } W (S W Л/ М hiti. (*)] > °-
Ч ' ij 1 >
Снабдим теперь тензорное произведение 91 ® § векторных пространств 9[ и § полуторалинейной формой
/ Е Ai ® ?,•> Ц в/ ® т1/Л = I] ф (A*iB/) Ti/)-
\ ? / / ij
Форма эта корректно определена и задает положительно-полуопределенное скалярное произведение, согласно только что установленному неравенству. Пусть ЭД обозначает множество нулевых векторов относительно этой формы, а к — замыкание множества Ж ® §/9?. Тогда Й — гильбертово пространство, и оператор V, определенный соотношением Vijj = 11 ® ijj -f- ЭД, будет линейной изометрией §) в Пусть я — представление, индуцированное в $ представлением п' алгебры 51 в 91 ® ф, задаваемым формулой
Л' (А) ^ Bi ® ^ = ABi ®
Простые вычисления показывают, что п — представление 91 и
Ф (Л) = V*n (А) V
при всех Л ? 91. (Заметим, что это — обобщение конструкции ГНС.) Далее, при Л ? 91 и г); ? ф имеем
(г);, ф (А*А) г|)) = (г);, V*n (Л)* л (Л) lAp) = ||л (Л) 1Лр||2
> II V*n (Л) 1ЛЦ|2 = (if, ф (А)* ф (Л) ip).
Отсюда
Ф (А*А) > ф (Л)* ф (Л).
Лемма 2.2.14 и ее доказательство показывают, что элемент А, принадлежащий С*-алгебре 21 с единицей, является выпуклой комбинацией унитарных элементов из 21, если || А ||<1/2. Более общим образом, можно показать, что всякий элемент А ? 21 с ||Л|| < 1 является выпуклой комбинацией унитарных элементов. Однако нам понадобится только следующий более слабый результат.
Предложение 3.2.5. Единичный шар С*-алгебры % с единицей совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой унитарных элементов алгебры 21.
Доказательство. Если Л ? и || Л || < I, то элемент Ц —А*А положителен и обратим, так что элемент
f (А, X) = (И — ЛЛ*Г1/2 (И + %А) существует в 91 и обратим при всех X ? С с |Х| = 1. Далее,
Л* (Ц — АА*)-1 = А* / ? (ЛЛ*)"\ = (А*А)п\ А* — (1 — Л*Л)_1Л*
\nSzO / \п^ о /
3.2. Теория для случая алгебр
¦21
откуда
/ (Л, X)* f (А,Х) + 11 = (И + ЬА*) (1 - АА*)-' (11 + ХА) + Ц = (И — АА*)-1 + (И — ЛМГ1 ХА* +
+ (И — ЛА*)-1 М + (Ц — Л*Л)-1.
Это выражение не изменится, если совершить преобразование Л ь—=> А*,Х i—> X, и мы заключаем, что
