Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
°tn) (А) = J dse^'i sm+n (S-Sm+n_i) a'"-1’ (A)
0
при n >• 2. Поскольку сужение S на каждое Xn ограничено и ^ Xn+lf то интегралы в этих определениях можно понимать как римановы интегралы, и 11—> (А) есть непрерывная по норме кривая в Хт+п при п = 0,1, .... Если
/С = 1| | v II, то, используя неравенство || S I Y — Sn II ^ п, по индукции вы-
JI mlj || лп n I)
водим следующие оценки:
Наблюдение (2). ||а?°* (А) || < || А || и при всех п = 1, 2, ... и t > 0
II °tn) {А) II ^ (т ~п ГтТ ‘')! *ПК И II < (m + я - W"*" К || А II.
Введем
т\k)(A)= ? а<л> (А).
п=0
Наблюдение (2) показывает, что предел
т (А) — lim > (А)
1 k->oo
существует в топологии нормы при t ? [0, 1) равномерно по ^ на компактах. (На этом этапе нельзя исключить возможность зависимости тi (А) не только от А и t, но и от т, и мы будем считать, что для каждого А выбрано фиксированное т = т (А); а posteriori Т; (Л) окажется не чем иным, как etsA.
3.1. Теория для случая банахова пространства
205
Замечая, что
И) - а!п) (А)
*+б
= fdse(t+6 S)Sm+B(S-Sin+„_1)o‘n-1)(A)
jds(
(i+6-s) S„
V-s) S„
a (S — Sm+n-i) lxm+n_! и ограничены, убеждаемся, что отображение
—s- <т^л* (Л) дифференцируемо, и для производных получаем выражения
4а<0)(Л)=°,
dt
о<"> (Л) = (S - Sm+„_,) о'"-1» (Л) + Sm+na^ (Л).
('г-1)
т(«)
Просуммировав эти равенства, находим
^ (т<"> (Л)) _ S (т<"> (Л)) = (Sm+„ - S) а«") (Л).
Наблюдение (2) дает нам оценку
I (Sm+„ - S) а'"» (Л) I < (m + n)m+' <’*|| Л ||,
так как (Л) ? поэтому, проинтегрировав обе части предыдущего
равенства, получим
т<"> (Л) - Л-Sj j dsx[n) (А)
С
(m + ra)m+1 /-i+i
км п.
Но S замкнут, а предел
т t(A) = lim (Л)
существует для t ? [0, 1) равномерно по t на компактах, так что справедливо следующее
Наблюдение (3). При t ? [0, 1)
t
j dsts (A) eD (S)
т/ (A) — A = S ^ j dsxs (A) j .
206
3. Группы, полугруппы и генераторы
Далее, проверим
Наблюдение (4). Функция t ? [0, 1) i—=> ||т/ (А) Ц не возрастает на [0, 1). Доказательство. Определим регуляризованные элементы
8
т/ (Л8) = j dst/+s (А) о
при t ? [0, 1 — е]. (Предостережение: на этой стадии не следует чересчур буквально принимать обозначение Т/ (ЛЕ); надо рассматривать t \—%t (Ле) просто как кривую в X.) Легко видеть, что функция 11—=. xt (ЛЕ) дифференцируема с производной
— т, (ЛЕ) = т/+е (А) - г/ (А).
Далее, наблюдение (3) дает нам
е
^/+6 (Ае) (Ае) = j" ds (Т/+й+5 (Л) т/+5 (Л))
О
? //+б+S \
= J dsS I | duiu (Л) I
О V f+s )
/ Е <+6+S \
= S I j ds j duiu (Л) I.
Vo И-s J
Разделив на 6 и устремив 6 к нулю, получим, ввиду замкнутости S,
тt (ЛЕ) = S (Т/ (Ле)).
Но S диссипативен, поэтому, по лемме 3.1.15,
\\xt (Ae)-6S (xt (Ле)) || :> || %t (Аг) ||
при всех 6 > 0, т. е.
T't (-^е) 6 Me)
>11Т/ (Ав) II,
следовательно,
т/-бИе) || + о(б) >|| т/ (Аг) ||
или
{II II - II %t 11} > 0 (') ¦
Тем самым проверено, что функция t \—>||т/ (Ле)|| не возрастает, а так как
%t (Л) = lim т/ (Ае),
?->0
то и 11—=> IТ/ (Л) || не возрастает.
Завершим теперь доказательство теоремы 3.1.34 рассуждением от противного, предположив, что при некотором 0 область значений R (XI — S) не плотна. Тогда по теореме Хана — Банаха найдется линейный функционал / ?
3.1. Теория для случая банахова пространства
207
С X* с || /|| = 1, для которого f ((XI — S) В) = 0 при всех В ? D (S). В частности, в согласии с наблюдением (3),
/ (т, (Л)) = / (Л) + X J */ (МЛ)), о
Отсюда вытекает, что / (хt (Л)) = (Л) при t ? [0, 1). Плотность [j п Хпв X
позволяет выбрать такое Л ? U пХп, что е^2 | / (Л) | > || Л || и, следовательно,
