Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
|| (I - aSn) Л I ^ 1 Л ||.
Пусть G обозначает график, определенный соотношением
G = lim G (<Sn),
П->оо
и предположим, что D (G) плотно в X по норме. В таком случае G оказывается графиком замыкаемого по норме оператора S в X с D (S) = D (G), и
I (I-aS)A Зг I Л 1
при всех А ? D (S).
Доказательство. Сначала считаем, что Ап ? D (Sn) и В ? X удовлетворяют условиям
lim II Ап || = 0, lim || SnAn — В || = 0.
rt->oо оо
Для проверки того, что G — график некоторого оператора S, достаточно доказать, что В = 0. По всякой паре (Л\ В') ? G можно указать такую последовательность |А'п\ С D (S„), что А’п—> А’ и SnA'n~+ В'. Кроме того,
I (; - “sn) (Ап + аА'п) I > |\Ап + аАп ||-
Перейдя к пределу в обеих частях этого неравенства, получим после сокращения на а
II .Л' — В — аВ' 1 || А' II
при всех а ? [0, 1 ]. Устремив а к нулю, найдем, что
М'-Я|1»||Л'|1.
Это верно для всех А' из плотного множества D (G), следовательно, В = 0.
7*
196
3. Группы, полугруппы и генераторы
Таким образом, G — график плотно по норме определенного оператора S, и требуемое неравенство вытекает из соответствующих неравенств для Sn ввиду сходимости графиков. Повторив начало доказательства с заменой Sn на S, установим замыкаемость S по норме.
Следующая наша цель — показать, что сходимость графиков генераторов можно использовать для характеризации сходимости последовательностей С0-полугрупп.
Теорема 3.1.28. Пусть U„—последовательность Сй-полугрупп сжатий в банаховом пространстве X с генераторами Sn. Определим график Ga формулой
Ga = lim G (/ — aS„).
оо
Эквивалентны следующие условия:
(1) существует такая С0-полугруппа U, что
lim || (Un, t — Ut) А \\ — О
П-> оо v
при всех А ? X, t ? R+ равномерно по t на конечных интервалах
в R+;
(2) множества D (G„) и R (Ga) плотны по норме в X при некотором а > 0.
Если эти условия выполнены, то Ga — график оператора I — aS, где S — генератор U.
Доказательство. (1) => (2). Для А ? X и а > 0 определим Ап, полагая Ап= U —А. Теорема 3.1.26 гарантирует сходимость >• (/ —aS)'1 А, где S — генератор U. К тому же (/ — aS^) Ап = А, так что Ga э G (/ — aS). Тем самым D (Ga) и R (Ga) плотны по норме, согласно теореме 3.1.10.
(2) (1). Из предложения 3.1.6 вытекает для всех А ? D (S„), что
|| (I — ctSn) А || >> || А ||. Значит, применима лемма 3.1.27 и существует такой замыкаемый и плотно по норме определенный оператор S, что Ga= G (/ — aS) и || (/—ccS) А || > || А ||. То же самое неравенство справедливо и для замыкания S, и R (/ —aS) замкнуто по норме. Но R (I —aS) = R (Ga) = X. Следовательно, S является генератором некоторой Су-полугруппы сжатий U по теореме 3.1.10. Но если Ап—>А и йл=(/—ccSn) Ап—> В = (/—aS)A, то
|| ((/ - aS„)-1 - (/ - a5)-i) В || = |[ (/ - aS„)-i (В -Вп) + Ап-А ||
^\\В-Вп\\ + \\А-Ап1
Тем самым резольвенты операторов Sn сильно сходятся к резольвенте S, так как R (/ —aS) = X, а Un сходятся к U в силу теоремы 3.1.26. Но сходимость резольвент влечет замкнутость Ga, и потому S = S.
Импликацией (2) (1) теоремы 3.1.28 можно воспользоваться
в следующей простой ситуации. Допустим, S„ и S — генераторы сжимающих С0-полугрупп, причем S обладает такой существен^ ной областью определения D, что
D s U ( П D(Sn)\
т \п^т )
3.1. Теория для случая банахова пространства
197
и при всех А ? D
lim I (Sn — S) А || = 0.
/7->оо
Тогда S будет граф-пределом Sn.
Пример 3.1.29. Пусть § = L2 (Rv)— гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на Rv, a S — обычный самосопряженный оператор Лапласа:
(БЩх) = -у2^ (х).
Хорошо известно, что пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем образует существенную область определения D для S. Для всякого ограниченного открытого множества обозначим через Sj^
любое из самосопряженных расширений оператора S, суженного на бесконечно дифференцируемые функции с носителем в Л. Существует много таких расширений, каждое из них отвечает определенному выбору граничных условий. Если Л„ — возрастающая последовательность, такая что каждое ограниченное открытое множество Л при достаточно больших п содержится в Л„, то
Z^U ( П D (5Л )1 ,
т \п^т ' п> j
по определению. Следовательно,
,. III its itS\ ||
lim Ще Ля — е ) г|з || = 0
