Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
I Ь/2 (А) II > | / (Ь/2 (А)) I = еХ/2 I / (Л) I > ||Л ||.
Полученное противоречие с наблюдением (4) завершает доказательство теоремы 3.1.34.
Замечания. Дифференциальное уравнение
-±t%t(Az) = STt(AR),
установленное в ходе доказательства, приводит к равенству %t (Ле) = etsAz, и по непрерывности получается разложение в ряд теории возмущений
оо
etsA = ? в{п)(Л),
/г=0
справедливое при t (j [0, 1).
Как показывают контрпримеры, теорему 3.1.34 нельзя распространить на случай
SXn Е Хп+1, [J S \хп — Sn> о I Мп2,
даже когда S — симметрический оператор в гильбертовом пространстве X = ф.
Более простыми, но менее явными рассуждениями можно доказать аналог теоремы 3.1.34 для случая, когда
|sun-sn.o|<M
для п = 1,2,.... Прежде всего, наблюдение (1) позволяет считать, что каждый из Sn — Sn,0 диссипативен, так что
II (Ki-snr4<x~l
при А. > 0, по лемме 3.1.15. Пусть теперь к > М и функционал / ? X* обращается в нуль на R (XI — S). В частности, для А ? Хп
|/(Л)| = |/((U - Sn)(M - SJ-1 Л)| = = I / ((S - sn) (XI - Л) I «II /1МГ1 II л ||..
208
3. Группы, полугруппы и генераторы
Плотность [}пХп влечет оценку ||/|| < М)i Ч/Ц, показывающую, что / = 0; следовательно, R (XI — S) — плотное множество.
3.1.5. Теория приближений
В предыдущем пункте мы исследовали устойчивость генераторов полугрупп при возмущениях и установили свойство устойчивости относительно ограниченных возмущений. Для С0-полу-группы U и для возмущенной полугруппы UP, полученной прибавлением к генератору полугруппы U ограниченного возмущения Р, теорема 3.1.33 утверждает, что
II Ut-Uf\ = О {t)
при t, стремящемся к нулю1*. Расстояние по норме между двумя группами или полугруппами является удобной мерой их близости, и этот пример показывает, что группы, генераторы которых близки, мало удалены друг от друга по норме при малых t. Теперь посмотрим, каковы «взаимоотношения» между полугруппами, близкими при малых t. Первый результат состоит в том, что полугруппы не могут быть очень близки без того, чтобы не совпасть.
Предложение 3.1.35¦ Пусть U и V — две о (X, F)-nenpepbie-ные полугруппы в банаховом пространстве X. Если
\Ut-V,l = 0(0
при t -> 0, то U = V.
Доказательство. Обозначим через S и Т генераторы полугрупп U и V соответственно. Зафиксируем А ? D (Т); тогда при f—у 0
л) _<b(_L(V,_/)/i) | = 0 (1)
для любого ш ? F. Следовательно, А ? D (S), по определению, и SA = ТА, т. е. S э Т. Меняя ролями S и Т, получаем S s Т и, следовательно, S = Т. Воспользовавшись соотношениями Ut = Нтп+00 (/ — tS/n)~n A, Vt = = (I — tT/ri)~n А, которые справедливы, в силу теоремы 3.1.10, при
А ? D (S) = D (Г), заключаем, что Ut |D (S) = Vt Id(S)> так что Ut = Vt, ввиду предположенной a (X, /^-непрерывности.
Наш второй результат показывает, что если две С0- или С0-группы умеренно близки при малых t, то они связаны весьма простым образом.
|| Ut — Vt || = о (t) означает, что \\mt^Q\\Ut—Vt\\!t = 0, a \\Ut —
— Vt II = О (t) означает, что lim sup^0 || Ut —¦ Vt ||/^ < +оо.
3.1. Теория для случая банахова пространства
209
Теорема 3.1.36. Пусть U и V — две С0- или С*0-группы в банаховом пространстве X с генераторами S и Т соответственно. Следующие условия эквивалентны:
(1) существуют такие ех > 0 и > 0, что
\UtV_t-l\ < 1 - 8l
при 0 с t <
(2) существуют е2 > 0, б2 > О и ограниченные операторы Р, W, такие что у W есть ограниченный обратный,
S = W (Т + Р) ИГ1
\\U tW-'U _tW - I |)d-e2 при всех О с t < б2.
Если эти условия выполнены, то в качестве W можно взять
V
и, следовательно, |/ — W\ < 1 — Кроме того,
IIUtW~4J_tW -/f = | и tv_t - III + о (0, t - о, \\UtWV_t-W\\ = 0(t), t-0.
Доказательство. (1) (2). Рассмотрим оператор
61
^ = 4- [ dsUsV_s Si i
(интеграл понимается как сильный интеграл от сильно непрерывной функции в Сц-случае и как элемент, сопряженный к сильному интегралу, в С0-случае). Для него а I — WII ^ 1 — 8j, так что W имеет ограниченный обратный. Положим
Xt = W-WtWV_f
Можно проверить, что
6,+ft ft ~ (Хм -Xi) = ~K IT-i J dsU„tV_,_t - -p- Г'1 j dsUs+tV_s.t.
б, о
В (^-случае это влечет сильную дифференцируемость Xt, а в С*-случае — слабую* дифференцируемость. В обоих случаях производная равна dXt w-щ {U6lV_6l - I) V_t dt ~ Si
Далее, заметим, что
(Ut — I) WA W (Vt - I) A W (Xt - I) V/A
