Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
со (Л) = Тг (рЛ) н-> (а*со) (Л) = Тг (а (р) Л),
и это — аффинное отображение, т. е.
а* (Асо! + (1 — А) со2) = Аа^со! + (1 — А) а*а>2.
Таким образом, вигнеровские симметрии попадают в класс отображений, которые мы рассматриваем. Структура этих симметрий
гр 1—5»- ос.\р оказывается чрезвычайно простой, а именно
aij) = t/\J),
где U — унитарный или антиунитарный оператор, который с точностью до фазы определен единственным образом. Этот результат вытекает из общей теории, например из теоремы 3.2.8, и мы рассмотрим его ниже в данном пункте в качестве примера.
Начнем с формального определения различных новых типов отображений, которые будут представлять для нас интерес.
Определение 3.2.1. Пусть ср : 2Х н-> 23 — линейное отображение С*-алгебры 51 в С*-алгебру 23. Будем говорить, что
(1) ф — положительное отображение, если ср (2I+) s 23+;
(2) ф — йорданов морфизм, если
Ф(Л*) = Ф(Л)*, Ф({Л, В|) = {ф(Л), ф (б)| при всех Л, В ? 21, где \А, В\ = АВ + ВА\
3.2. Теория для случая алгебр
217
(3) ф — антиморфизм, если
Ф И*) = Ф И)*> Ф(ЛВ) = Ф(В)Ф(Л)
при всех А, В ? 91;
(4) ф — изометрия, если || ф (А) [| = || А || при всех А ? 91;
(5) ф — порядковый изоморфизм, если существует ф-1 и оба отображения ф и ф-1 положительны;
(6) ф — йорданов изоморфизм, если существует ф-1 и ф (а значит, и ф"1) — Йорданов морфизм;
(7) ф — антиизоморфизм, если существует ф-1 и ф — антиморфизм.
Применяются также такие понятия, как порядковый автоморфизм, йорданов автоморфизм и антиавтоморфизм, определения которых ясны из названий. Некоторые связи между введенными понятиями вполне очевидны; например, и морфизмы, и антиморфизмы являются йордановыми морфизмами. Если ф — Йорданов морфизм и элемент А ? 91 самосопряжен, то ф (Л2) = ф (А)2, так что отображение ф положительно. Отметим, что имеется тесная связь между антиморфизмами и антилинейными морфизмами; последние переводятся в первые (и наоборот) преобразованием Л Л*.
Теперь займемся характеризацией йордановых морфизмов, а именно покажем, что они получаются «сложением» морфизма и антиморфизма.
Предложение 3.2.2. Пусть ф — йорданов морфизм С*-алгебры 91 в 3? (?>) и 93 обозначает С*-алгебру, порожденную ф (91). Тогда существует такой проектор Е ? 93' П что отображение
А ф (Л) Е
есть морфизм, а
А Ф (Л) (I — В)
— антиморфизм.
В частности, если л — неприводимое представление алгебры 23, то я°ф—либо морфизм, либо антиморфизм.
Поскольку полное доказательство этого предложения довольно длинно, мы ограничимся указанием его основных моментов.
Наблюдение (1). Если А, В ? 91, то
Ф (АВА) = ф (Л) ф (В) ф (Л).
Для проверки замечаем, что ф ((Л -{- В)3) — ф (Л + 5)3, ф (Л3) = ф (Л)3 и т. д., откуда можно получить
Ф (АВА + ВАВ) = ф (Л) ф (В) Ф (Л) + ф (В) ф (Л) ф (В).
Аналогичная выкладка, учитывающая, что ф ((Л — В)3) = ф (А — В)3, дает Ф (АВА — ВАВ) = ф (Л) ф (В) ф (Л) — ф (В) ф (Л) ф (В),
218
3. Группы, полугруппы и генераторы
и искомый результат получается сложением двух выписанных выше равенств.
Наблюдение (2). Если А, В, С ? Щ, то
Ф (ABC + СВА) = ф (А) ф (В) ф (С) + ф (С) ф (В) ф (А).
Это следует из тождества
ABC + СВА = (А + С) В (А + С) — ABA — СВС
и наблюдения (1).
Наблюдение (3). Если А, В ? Щ, то
[ф (АВ) — ф (А) ф (В) ] [ф (АВ) — ф (В) ф (А) ] = 0.
Раскрывая скобки и применяя наблюдение (1), а затем наблюдение (2), получаем
[ф (АВ) — ф (А) ф (В) ] [ф (АВ) — ф (В) ф (А) ]
= Ф ((АВ)2) + ф (ABBA) — ф (А) ф (В) ф (АВ)—<р (АВ) <р (В) ф (А) = ф ((АВ)2 + (АВ)(ВА)) — ф ((АВ)(АВ) + (АВ)(ВА)) = 0.
Теперь с помощью наблюдения (3) можно доказать предложение 3.2.2 в том случае, когда Щ. — алгебра фон Неймана вида Ж ® Мп, п > 2, где Мп— алгебра всех матриц размера п X п. Доказательство, основанное на манипулировании матричными единицами, носит алгебраически-комбинаторный характер и позволяет на самом деле получить результат для матриц над кольцами более общими, нежели алгебры фон Неймана. В общем случае алгебра фон Неймана 91 содержит последовательность взаимно ортогональных проекторов {Еп}п>1 в центре Ж П й*. обладающую свойствами: S„?„ = Ц, алгебра ЖЕг абелева, а ШЕп = = Шп ® Мп, где Шп — алгебры фон Неймана. Это позволяет завершить доказательство для случая алгебры фон Неймана Щ. Наконец, если Щ является С*-ал-геброй, то сначала ф расширяем на Щ**, где Щ** — алгебра фон Неймана, порожденная (®И??^ЯИ) (Я). и затем применяем результат для алгебр фон Неймана.
Теперь мы подошли к первому основному результату данного пункта, к характеристике йордановых автоморфизмов и сопряженных с ними отображений.
Теорема 3.2.3. Пусть С*-алгебры 51 и 23 обладают единицами и алгебра 33 невырожденно действует в некотором гильбертовом пространстве. Пусть <р: 91 ->23 — линейное отображение, имеющее обратное <р-1, и <р (И) = И. Следующие условия эквивалентны:
