Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
t
ш ((Ut - Vt) А) = j dsw (Ut (S - T) Vt_sA)
0
при всех со ? X+. Легко получить оценку
II (Ut — Vt) А II < t sup II Us IIII Vt.s II (a II A || + b || TA ||).
Но при некоторых M и Р выполняются также неравенства || || sj М ехр {Р^}
и || V11| < М ехр {Р/}, так что
|| (Ut - Vt) А II < Ш Vм (а || Л || + b || ТА ||).
Выбрав А — (I — аТ)"1 В, получим
|| (Ut - Vt) (/ - аТу1 В || < шУ» (а || (/ - а Г)'1 В || + Ь || (/ - (/ - аТ)~' В ||.
Применив для оценки резольвенты предложение 3.1.6, находим, что при 0 < <а < р-1
II (Ut — Vt) (/ — аТ)~х || < Ш2ер* (аМ (1 - сфр1 +
+ ЬаГ1(\ + М (1 -аР)"1)) = 0(t).
(2) =>• (1). Это немедленно следует из совпадения В (Т) с R ((/ — аТ)~г).
3.2. Теория для случая алгебр
В этом разделе мы главным образом изучаем однопараметрические группы *-автоморфизмов С*-алгебр и алгебр фон Неймана, усиливая результаты раздела 3.1 за счет учета структуры алгебры. В приложениях к математической физике такой анализ полезен при изучении динамики систем или при исследовании однопараметрических групп симметрий. В таком контексте, однако, естественно сначала рассмотреть преобразования более общего вида, чем *-автоморфизмы.
Симметрии физическйх систем можно описывать двумя различными взаимодополнительными способами. Можно трактовать симметрию как инвариантность состояний системы относительно преобразований, которым подвергаются приборы, ведущие наблюдение за системой, или можно трактовать ее как инвариантность наблюдений относительно преобразований состояний. Если принять такое описание физической системы, при котором наблюдаемые являются элементами некоторой алгебры ЗД, а физически реализуемые состояния представляются математическими состояниями «в на 91, то две указанные трактовки окажутся двойственными друг другу. Можно описывать симметрии как преобразования алгебры 91 и считать множество состояний неизменяю-щимися или, двойственным образом, вводить симметрии как пре-
3.2. Теория для случая алгебр
215
образования множества состояний Ещ^, а алгебру 91 считать не подвергающейся изменениям. В любом случае важную роль играет условие положительности. Требование положительности состояний на алгебре наблюдаемых связано с вероятностной интерпретацией результатов измерений, и сохранение положительности при преобразованиях симметрии соответствует сохранению вероятности. С другой стороны, спектральные значения самосопряженных наблюдаемых соответствуют физически реализуемым значениям этих наблюдаемых, так что физически осмысленно выделение преобразований, переводящих положительные элементы алгебры в положительные. Поэтому мы начнем с изучения положительных отображений алгебр и охарактеризуем также некоторые специальные подклассы ^-автоморфизмов. После этого мы вернемся к изучению групп автоморфизмов.
3.2.1. Положительные линейные отображения и йордановы морфизмы
В этом пункте мы рассмотрим различные типы положительных линейных отображений С*-алгебр и алгебр фон Неймана 91 (см. предпоследнюю фразу введения к настоящему разделу). Конкретными примерами таких отображений ф являются *-автоморфизмы и ^-антиавтоморфизмы. Другие примеры — это отображения ср, которые сопряжены с отображениями ср* : 91* -+¦ 91*, обладающими свойством переводить состояния в состояния. Мы опишем более подробно это и некоторые другие характеристические требования, предъявляемые к ср, естественные с точки зрения физической интерпретации, и докажем эквивалентность разных требований. Мы также покажем, что при выполнении этих требований ср расщепляется на морфизм и антиморфизм.
Начало общим исследованиям такого рода в математической физике положила предложенная Вигнером математическая формулировка понятия симметрии в квантовой механике. Чистые состояния квантовомеханической системы представляются «лучами» единичных векторов в гильбертовом пространстве ?>. Если ? §
и JI \(51| = 1, то соответствующий луч гр определяется как множество векторов вида eihty, где X ? R. Числа
Р (Ф. 40 = I (Ф> 'l5) I2.
очевидным образом не зависящие от выбора представителей ср, ф лучей ф, ф, задают вероятность перехода системы из состояния ф
в состояние ф. Вигнер определил симметрию системы как такое взаимно-однозначное отображение лучей в лучи, при котором сохраняются вероятности перехода р (ф, г^). Это понятие можно также
216
3. Группы, полугруппы и генераторы
переформулировать в терминах проекторов. Если & (§) обозначает множество всех проекторов ранга 1 в то симметрия по Вигнеру — это такое взаимно-однозначное отображение Е ? ? # (?) I-*¦ а (Е) ? & (?), что
Тг (а (?ф) а (Е^)) = Тг (?ф?^); (*)
здесь ?ф и Eq, обозначают проекторы на подпространства, порожденные соответственно векторами ср и гр. Отображение а по линейности можно распространить на все операторы конечного ранга, а затем по непрерывности и на С*-алгебру 9?Я2 (§) всех компактных операторов в §. Отметим, что свойство инвариантности (*) обеспечивает корректность такого расширения (а (Л) = = 0, если Л = 0). Кроме того, можно убедиться, что матрицы плотности р, описанные в пункте 2.6.2, отображаются в матрицы плотности, причем если р = А,рх + (1 — X) р2 и 0 < X < 1, то а (р) = Ха (рх) + (1 — А) а (р2). Тем самым а определяет отображение состояний С*-алгебры 9S93 (§) или же нормальных состояний алгебры фон Неймана 9S (§) всех ограниченных операторов, а именно действующее по правилу
