Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
3.2. Теория для случая алгебр
225
Если 0) ? то со (ф (Ц)) = (ф*ш)(И) = 1 = to (И). Таким образом, ф (А) = = 11, и ф — Йорданов автоморфизм по теореме 3.2.3.
Отметим, что результат теоремы 3.2.8 можно приспособить и к С*-случаю. Пусть 21 будет С*-алгеброй, я — ее представлением, a —¦ множеством я-нормальных состояний (см. опреде-
ление 2.4.25). В этом случае всякое аффинное обратимое отображение ф* множества Nn на себя задает, в силу двойственности, Йорданов автоморфизм ф алгебры фон Неймана, порожденной я. В частности, если я = ф ям, то Nn = Е%, так что всякое
аффинное обратимое отображение ф# на определяет Йорданов автоморфизм алгебры 91" = ' (91)". Следующая наша
цель — показать, что при наложении добавочных условий непрерывности на ф* этот двойственный Йорданов автоморфизм ф задает Йорданов автоморфизм алгебры я (91). Тем самым, если я точно, то ф отвечает йорданову автоморфизму абстрактной С*-алгебры 91. Добавочные условия непрерывности требуют, чтобы ф* отображало пары близких состояний в пары близких состояний. Понятие близости определяется слабо* равномерной структурой. При физической интерпретации, когда значения, принимаемые в определенных состояниях, представляют результаты физических измерений, смысл условий непрерывности состоит в требовании, чтобы преобразования симметрии ие приводили к радикальным отличиям между сходными системами.
В упомянутом выше С*-варианте теоремы 3.2.8 первоначальное отображение состояний было определено на подмножестве, образованном я-нормальными состояниями. Во многих прикладных задачах также естественно рассматривать специальные подмножества состояний, например локально-нормальные состояния на квазилокальных алгебрах, и этим объясняется то, что в разделе 3.1 мы ограничились изучением а (X, /^-непрерывных полугрупп и т. п. Однако, чтобы алгебраическое описание не оказалось отчасти избыточным, необходимо, чтобы соответствующие подмножества состояний были в каком-то смысле определяющими для алгебры. В этом контексте естественным является понятие полного множества состояний.
Определение 3.2.9. Полным семейством S состояний на С*-алгебре 91 называют такое выпуклое подмножество S множества Ещ состояний на 91, которое обладает следующим свойством: если со (Л) 0 для .всех со ? S, то Л ^ 0.
В частности, заметим, что нормальные состояния алгебры фон Неймана образуют полное множество состояний. Значит, я-нор-
8 У. Браттели, Д. Робинсон
226
3. Группы, полугруппы и генераторы
мальные состояния точного представления л также образуют полное множество состояний С*-алгебры 21.
Обобщение теоремы 3.2.8 на С*-алгебры будет сформулировано в терминах отображений полных семейств состояний. Эти семейства можно просто охарактеризовать как слабо* плотные подмножества множества всех состояний, только вот вывод такого описания не столь прост. Предварительно мы установим полезный факт:
Предложение 3.2.10. Пусть S — выпуклое подмножество состояний С*-алгебры 91. Следующие условия эквивалентны:
(1) S —¦ полное множество;
(2) S слабо* плотно.
Доказательство. (1) =>- (2). Сперва мы покажем, что для А > О
sup со (А) = ||А[|.
(0 6 S
Допустим, что это не так, и будем рассматривать состояния со ? S как меры с/цм на спектре а (А) абелевой алгебры С0 (а (Л)), порожденной А (см. теорему
2.1.11, Б)). Если со (А) ^ X < || А || при всех со ? S, то все представляющие меры должны иметь на [Ц А || — Х/2, || А ||] [~| 0 (Л) массу, не превосходящую (|| Л || — Л)/(|| Л || — Х/2) < 1. Тем самым существует такая вещественная функция / 6 Со (сг (Л)), что / (t) < 0 при t || Л || — Х/2, но
со (/ (Л)) = j фи {t) / (t) » О
при всех со е S. Однако f (Л) не положительно, и это противоречит полноте S.
Далее, мы утверждаем, что для е> 0 по Л = Л* и X f а (Л) можно указать такое со ? S, что | со (А) — Я| < е. Если X 0, то выберем положительную функцию / ? С0 (а (Л)) с = 1 так, чтобы f (t) = 0 при \t — Я| > е', где е' = е (1 + 2||ЛЦ)"1. Предыдущие рассуждения гарантируют существование такого со j S, что со (/ (Л)) > 1 — е'. Таким образом, представляющая со мера будет иметь на [Я — е', X -j- е'] массу, превосходящую 1 — б. Поэтому
I со (Л) —X | = | j (t) (t — X) |
< j dpa (t) (t --- X) + j 4Im (t) (t - X)
| t-X I < e' - I t---X | > e'
= e' (1 +2 || Л И) =e.
Теперь в случае алгебры 9t с единицей можно заменить С0 (о (Л)) на С (а (Л)), и наши рассуждения остаются в силе и при X = 0. Далее, если 11 ф. St, но точка нуль не изолирована в а (Л), то наше утверждение справедливо: достаточно аппроксимировать нуль числами Я ? а (Л) \ {0}. Наконец, если И ф. 91 и нуль — изолированная точка спектра о (Л), то можно выбрать такую функцию f ? ? С0 (ст (Л)), что f (t)= 1 при t ? о (А) \ {0}. Положив Р = / (Л), видим, что Р ? 9t — проектор и Р =f= “О. Следовательно, найдется В ? 9t, такое что ВР — В =f= 0, и в результате С = (BP — В)*(ВР — В)/|| ВР — В Ц2 будет положительным, || С|| = 1 и СР = 0 = PC. При любом е> 0 согласно первой части
