Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть W* (А) обозначает абелеву алгебру фон Неймана, порожденную А и 1. Представление Гельфанда позволяет рассматривать W* (А) как алгебру С (X) на отделимом компактном пространстве X. Множество тех В ? С (X)sa ь для которых Т! (В) = 1, непусто и о-слабо замкнуто, а значит о-слабо компактно. По теореме Крейна — Мильмана это множество имеет крайнюю точку В. Легко видеть, что В — крайняя точка также и для множества С (X)sal> так как ||г||| = = 1. Поэтому представитель В в С (X) может принимать значения только в крайних точках промежутка [—1, 1 ]. Значит, В = Рх — Я2, где Ри Я2 — проекторы, ЯХЯ2 = ОиР1 + Р! = 1 Далее, положим
Г)! (А) = л (ЯИ). Г)2 (А) = (Р2А)
при всех А ? Ш. Такие %, т]2 будут а-слабо непрерывны, и т| = % — т]2. Кроме того,
(ill + т|2) (11) = 4(Pi — pi) = 1.
1(Г]1+Г12)(-4)| = |Г1((Я1-Я2) ЛЖ||г)|| ЦРг-Р,]] [|Л||.
Тем самым ||'П1 + 'П2||= I. и r)i +'Пг будет состоянием, в силу предложения
2.3.11.
На РхШРх норма равна т] (Я]), потому что из г) (Ях) < г) (Л), где Л ? ? РхШР-i, следовало бы, что || Л — Я21| < 1 и г) (А — Рг) = г| (Л) — г[ (Я2) > >¦*1(^1 — -Р2) = 1. что невозможно. Следовательно, согласно предложению
2.3.11, г)! > 0 на PiWPi- Функционал эрмитов, так как = (т) + hi + Значит,
Т1 (АР-д = г] (P-lA*) = ти (Л*) = r)t (Л) = т\ (ЯИ)
И
Til (Л) = Г) (ЯИ) = Г) (Р\А) = Г) (Р^АРд = ri! (ЯИЯ1).
Отсюда вытекает положительность на всей алгебре 3)1. Аналогично т]2 положителен и || г)21| = г] <Рг) = г)2 (Я2), так что || ть || + || г)21| = г) (Рх — Я2) = 1.
Для всякого со ? 3Л*+ пусть S (со) обозначает наименьший из проекторов
в 5Ш, обладающих свойством со (S (со)) = || со || (равносильно определение S (ш) как наибольшего из проекторов в для которых ш (И — S (со)) = 0); S (ш) называется носителем со. Для проверки единственности разложения т] полагаэм
г] = — г)' = ri, -г)2, ri{ || + || г)2 || = 1, г)[, г)2 € 50?,+.
Тогда
4i (И) + Ъ (И) = 1 = Л! (И) + Лг Ш-
Л1 (И) — Щ Ш = т) (11) = х\[ (11) — (11)
и тем самым г|(. (И) = (Ц), i = 1, 2. Так как S (т]г) ^ Я*, то
Wn'iW = л; (И) = Л1 (11) = IIillII = ill (S (r)i)) =
= "П (S Ы) = r\[ (S (%)) — ni (S (%)).
Таким образом, (S (%)) = 0 и S (r)J) ^ S (т^). Следовательно,
Tli(^) = г) (S(Th) Л) = г)' (S (r)L) A) — Tij(S (rix) A) = (S (t]t) A)
= r\[ ((S (riO - S (г,;)) Л) +t|I (S (rtf) A) = ni (Л). Поэтому rij = r\[, так что т]2 = r)?.
224
3. Группы, полугруппы и генераторы
Теперь обратимся к С*-части доказательства. По теореме 2.3.15 множество Вщ положительных линейных функционалов на St с нормой, не превосходящей
единицы, слабо* компактно. Следовательно, множество $ выпуклых линейных комбинаций элементов из В^ и —Вщ также слабо* компактно. Если А = А* ?
? St, то непосредственное обобщение леммы 2.3.23 позволяет заключить, что
I А || = sup j| со (А) [; со ? ?щ} = sup {л (Л); т) ? $}•
Мы покажем, что всякий эрмитов функционал т) с ||т)|| 1 лежит в $. Предполо-
жив, что это не так, применим теорему Хана — Банаха к вещественному пространству Stsa. Теорема гарантирует существование таких Л ? Stsa и а ? R, что г] (Л) > а, а ф (Л) ^ а при всех Ф ? $. Отсюда, учитывая совпадение —? и Я, выводим, что | ф (Л) | sg; а при всех ф ? Я. Значит, || Л || а. Но это противоречит условию т| (Л) > а, поэтому т] ? $. Итак, показано, что всякий эрмитов функционал Т| на St имеет вид т) = гц — т)2, где т|(- ? St*. Далее, очевидно, что т]1 и г)2 обладают ст-слабо непрерывными продолжениями f|1 и f|2 на St" —
= ( © я«Л (St)". Тем самым и т| имеет ст-слабо непрерывное продолжение f|.
^ % )
Это продолжение единственно, так как St является ст-слабо плотным подмножеством в St" и 11111= ||т||| по теореме Капланского о плотности (теорема 2.4.16). Из уже доказанного варианта предложения для алгебр фон Неймана следует теперь и его С*-вариант.
Займемся следствиями теоремы 3.2.3. Сначала убедимся, что аффинные отображения состояний можно отождествить с отображениями, сопряженными к йордановым автоморфизмам. Такого рода двойственность отражает возможность описания преобразований симметрии в физических приложениях двумя методами, эквивалентность которых утверждается в следующей теореме.
Теорема 3.2.8. Пусть ЗК— алгебра фон Неймана, a N^ ~ = Ещ f) 2ft* — множество нормальных состояний на ЭК. Далее, пусть — аффинное отображение Ы^на себя, т. е.
Ф* (^i + (1 — Цщ) = ^Ф* Ю + (1 — *0 Ф* (“г)
при всех X ? [0, 1 ], cd-l, о)2 ? ^ таком случае существует
единственный йорданов автоморфизм ф алгебры ЭК, для которого
(ф*®) Щ = со (ф (Л))
при всех со ? Ыщ, А ? Эй.
Доказательство. Отображение ф* единственным образом расширяется до обратимого отображения 9К*+ на 2Й* + , а именно по формуле ф* (Хсо) = Хер* (со), Я ? R+. Для расширенного отображения имеем ф* (Х1со1 + Я2С02) — Л.1Ф* (COj) -(-Я2ф* (со2). Воспользовавшись йордановым разложением, указанным в предложении 3.2.7, расширим ф*и ф;1 по линейности (единственным образом) до обратимых линейных отображений 5Ш* на SOI,; расширенные отображения будут положительны, и норма их не будет превосходить двух. Следовательно, ф = ФЛ существует как обратимое отображение на 301, а ф и ф-1 положительны.
