Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
t ~~ t + t
210
3. Группы, полугруппы и генераторы
Если А ? D (Т) и t—> 0, то правая часть сходится в сильной либо в слабой*
топологии. Значит, WA ? D (S) и SWA = W (Т + Р) А, где
n dXt
dt <=о 6i
Аналогично если А <= D (S), то W~lA ? D (Т) и W^SA = (Т + Р) UTM
Тем самым D (S) = WD (Т) и S = W (Т + Р) W'1.
Наконец, легко проверяется, что
UtW~W_tW - I = (UtV.t - /) (VtW-4/_tW - /)
t
+ T~ W'~1 J (/ ~ ^-ei) V-*V‘W~1U-‘W + W-t ~ П-
I о
Поскольку группа t\-* W~1UtW имеет генератор T + P, то по теореме 3.1.33
II ViW^U^W — III = О (t), t-> 0. (*)
Следовательно, при t—> 0
li UtW'W.tW -Щ = 11 UtV.t - /|| + О (t). (**)
(2) =>- (1). Зададим Q формулой Q = —WPW'1. Тогда T = W_1 (S + Q) W,
и если группа U порождается генератором 5 + Q, то Ut — WUtW~x. Вновь
применив теорему 3.1.33, получаем, что || UtU_t — 1\\— О (t) при t—> 0. Тогда из тождества
UtV.t - / = UtW~1 {/_* - /) № + (UtW-W.tW - I).
вытекает, что
|| UtV.t - III = II UtW-W.tW -1II + 0 (t). (***)
Последнее утверждение теоремы следует из (*), (**) и (***).
Хотя мы сформулировали эту теорему только для С0- и CJ-групп, имеется ее версия для о (X, /^-непрерывных групп, справедливая при условии равностепенной т (X, /^-непрерывности |(/Ли<1 и |^}|(|<ь Фактически достаточным условием является аналогичное свойство равностепенной т (F, Х)-непрерывности сопряженных групп Ut и VtЕдинственное место в доказательстве, где важную роль играет непрерывность группы, — это определение W. Но если, например, и {У*}|<|<1 равностепенно
непрерывны, то для любой т (X, /^-полунормы рк при всех А и 111, |s| < 1
Рк ((UtV.t ~ USV_S) А) < Рк. ((V.t - VJ А) + рк, ((Ut - Us) V_SA).
Значит, функция^ [—1, 1 ] н-э- Ut V_t А будет т (X, /^-непрерывной.
Предыдущая теорема показывает, что для групп, которые близки по норме при достаточно малых t, всё отличие одной от другой сводится к «подкручиванию» и «подталкиванию»1’. Под-
1} В оригинале twist и boost. Иногда в отечественной физической литературе используются термины-кальки с английского «твист» и «буст». — Прим. перев.
3.1. Теория для случая банахова пространства
211
талкивание — это ограниченное возмущение генератора, а подкручивание— это отображение Ut WUtW'1. Отметим, что
если I Ut — Vt \ = о (1) или же О (^“) при t -> 0, то || Ut —
— WUtW~l\ = о (1) или О (ta) при t -> 0. Таким образом, подкручивание оставляет U почти неизменным. Однако, как мы увидим на примерах, вообще говоря, без подкручивания обойтись нельзя. Прежде чем рассмотреть этот вопрос, выведем из теоремы простое и замечательное следствие.
Следствие 3.1.37. Для С0-или С\-группы U в банаховом пространстве X эквивалентны следующие условия:
(1) существуют такие е > 0 и б > 0, что
\\Ut-I\\< 1 _е •
при всех t е [0, б);
(2) lim,1 Ut - /|| = 0.
Доказательство. Это следует из теоремы 3.1.36, если положить V = /. Замечая, что условие (1) влечет ограниченность генератора U, делаем вывод о равномерной непрерывности U на основании предложения 3.1.1.
В предыдущем пункте методами теории возмущений было показано (теорема 3.1.33), что две полугруппы, генераторы которых отличаются только на ограниченный оператор, близки по норме при малых t, причем эта близость одного порядка с t при
t, стремящемся к нулю. Такое свойство почти характеризует огра-
ниченные возмущения С0-полугрупп.
Теорема 3.1.38. Пусть U и V — две С'а-полугруппы в банаховом пространстве X с генераторами S и Т соответственно. Следующие условия эквивалентны:
(1) \\Ut - Vt I =0(0, t ->0;
(2) D (S) = D (Т) и S — Т ограниченный оператор из D (S)
в X.
Доказательство. (1) => (2). По предположению найдутся такие константы М, б> 0, что || Ut — V11| ^ Mi при 0 ^ t б. Выбрав А ? D (S), рассмотрим семейство элементов As = (Us — Ks) Als. Имеем || As || ^ Л11| Л-1| при 0 <s <6. Но единичный шар в X компактен в слабой* топологии, т. е. 0 (X, Х^-тополо-гии, по'теореме Алаоглу — Бурбаки. Тем самым существует слабо* сходящееся подсемейство Ata, предел которого при /а, стремящемся к нулю, обозначим через В.
Далее, пусть Т* и V*t обозначают операторы в X,, к которым сопряжены соответственно Т и Vt (см. лемму 3.1.9). Рассмотрим тождество (по со ? X*)
((Ч - ') “) (Л)"« - Л(и‘« ~ ') Л/'« ) - “ (А‘а>-
Переходя к пределу, находим
(Г*со)(Л) = ш (S4) — ш (В). (*)
212
3. Группы, полугруппы и генераторы
Поскольку правая часть непрерывна по <а, то обязательно А ? D (Т). Значит, D (S) = D (Т). Меняя ролями S и Т, убедимся, что в действительности D (S) — = D (Т). Кроме того, из (*) вытекает, что (S — Т) А = В. Но || В || < М || А [|, и потому
