Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
sup (II (S — Т) ЛII/II Л ИХ М.
A?D (S)
(2) =>¦ (1). Положим
IJ(S-7’MD N = sup ——-г-f—- ;
МИ
по условию N < + оо. Если A g D (S), то USA ? D (S). Кроме того, D (S) = = D (Т). Воспользовавшись соотношением
t
и ((Ut - Vt) А) = j dsсо (V’/.s (S - T) USA),
о
выводим оценку
\(Ut — Vt) A || ^ W || Л I sup || Vt_s mi Us ||.
о
Но тогда существуют такие M и Р, что || Ut || ^ М exp {fU} и || Vt || ^ М ехр {Р^}, в силу предложения ЗЛ.З. Поэтому
|| U, — V11| ^ tNM ехр {Р^} = О (t) при t—> 0.
Эта теорема не обязательно сохраняет силу для С0-групп, как показывает следующий пример.
Пример 3.1.39. В качестве X возьмем С0 (К), пространство непрерывных функций на прямой с обычной sup-нормой. Пусть F — оператор умножения на вещественную функцию /, которая недифференцируема на плотном множестве точек, но равномерно непрерывна по Гёльдеру в том смысле, что
|/(s)-/(f)|<c|s-f|.
Зададим W формулой W — ехр {if}. Затем введем С(Ггруппу сдвигов U:
(Ut-ф) (х) = ij) (х — t), t ? R, ij) ? X, и вторую С0-группу Vt = W~1UtW. Легко проверить, что
1 Ut-Vt ||<с|/|.
Но генератор S группы U — это оператор дифференцирования, а генератор Т группы V равен W'XSW, и D (S) П D (Т) = (0), так как / недифференцируема на плотном множестве.
Этот пример показывает также, что нельзя вовсе отказаться от «подкручиваний», фигурирующих в теореме 3.1.36.
Заметим, что теорема 3.1.38 не дотягивает до критерия отличия S и Т на ограниченный оператор, потому что речь идет лишь
об ограниченности 5 — Т как оператора из D (S) = D (Т) в X. Область определения D (S), хотя и а (X, X*)-плотна, не обязательно плотна по норме. В отдельных случаях, однако, можно установить существование ограниченного замыкания у S — Т.
3.1. Теория для случая банахова пространства
213
Пример 3.1.40. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, т. е. X — X**. Тогда предсопряженное пространство X* совпадает с сопряженным: X* = X*, и совпадают слабая* и слабая топологии. Тем самым всякая С^-группа U в X оказывается С„-группой (см. определение 3.1.2). В частности, область определения D (S) генератора 5 группы U плотна в X по норме. В этом случае для групп U и V условие
|| Ut — V11| = О (t), t -> 0,
выполняется тогда и только тогда, когда для генераторов S и Т области определения равны; D (S) = D (Т), и S — Т имеет ограниченное замыкание. Особый
интерес представляет случай самосопряженных операторов S и Т в гильбертовом пространстве и ассоциированных с S, Т унитарных групп Ut = exp {(AS) и Vt = exp {/'/7'}. Тогда эквивалентны условия:
(1) supt е R И ?/f — K# II / I / I < оо;
(2) S — T имеет ограниченное замыкание.
Теоремы 3.1.36 и 3.1.38 описывают основные взаимосвязи между двумя группами, близкими по норме при малых t. Естественно также рассмотреть более слабые меры близости, и в Cq-случае можно охарактеризовать относительно ограниченные возмущения типа фигурирующих в теореме 3.1.32.
Теорема 3.1.41. Пусть Cq-полу группы U и V на банаховом пространстве X имеют генераторы S и Т соответственно. Следующие условия эквивалентны:
(1) || (Ut — V,)A\ = 0 (t), t ч- 0, при всех А ? D (Г);
(2) |\(Ut — Vt) (I — аТ)~Ч| = О (t), t -*¦ 0, при всех а из интервала (0, б);
(3) D (S) => D (Т) и существуют такие константы а, b > 0, что
\\{S-T)A\\<a\\A\\ + b\\TA\\
при всех А ? D (Т).
Доказательство. (1) =г- (3). Сперва отметим, что А ? D (S) тогда и только тогда, когда \\(Ut — I)A\\=0{t) при /—> 0, согласно предложению 3.1.23. Таким образом, при А ? D (Т)
\\(Ut~I)A\\ ^\}(Vt-I)A\\ | Ц (Ut — Vt) А|| _ 0(1)>
и А ? D (S). Поэтому D (S) э D (Т). Затем покажем, что S и Т оба слабо* замкнуты и, следовательно, сильно замкнуты. Рассмотрим график G (Т) = = {(А, ТА)} оператора Т, снабженный нормой || (А, ТА) || = || А || + || ТА ||. Он замкнут как подпространство в X X X, и отображение (А, ТА) i—^ S.4 является линейным оператором из G (Т) в X. Но этот последний оператор замкнут, потому что из сходимости (Ап, ТА„) в G (Т) и сходимости в X следует, что || Ап—>4 |[ —>¦ 0 при некотором А и || S/4„ — В |(—»¦ 0. Тем самым В= S.4, так как S замкнут. Теорема о замкнутом графике позволяет теперь утверждать, что оператор этот должен быть ограничен. Следовательно, имеется такая константа с, что
|| SA || < с (И II + || ТА И). •
214
3. Группы, полугруппы и генераторы
Наконец,
II (S-T)A\\^c\\A\\+(c + 1) || ТА ||.
(3) =>- (2). Если АеО (Т), то VtA ? В (Т) <= D (S) и
