Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
для всех ? ф равномерно по t на конечных интервалах в R. Сеть унитарных its. its
групп е ^сильно сходится к группе е , как легко установить рассуждением от противного.
После этого примера рассмотрим приложение полученных результатов к построению сжимающих полугрупп.
Теорема 3.1.30. Пусть S — инфинитезимальный генератор С0-полугруппы сжатий U в банаховом пространстве X. Пусть t 6 R+ F (0 € 2 (X) — функция со значениями во множестве ограниченных операторов в X, такая что F (0) = /, || F (t) || < 1,
(F (t) — I) А
lim t-> о
-SA
= 0
при всех А из некоторой существенной области определения D генератора S. При этих предположениях
lim I UtA — F(t/n)n A I = 0, А ? X.
П-+оо
Доказательство. При каждом фиксированном s > 0 и каждом натуральном п формулой
f €R+ — </J".*>=exp{< (-?-)
198
3. Группы, полугруппы и генераторы
задается сжимающая полугруппа с генератором Sn~ (n/s)(F (sIn) — /). Операторы U\n' s' являются сжатиями, ибо
mis О
Но Sn сходится к S на множестве D, так что можно, применив замечание, предваряющее пример 3.1.29, убедиться, что
lim| U(А — u\n' SM J] = 0.
Лемма 3.1.11 дает оценку Таким образом,
М~1/2 И (F (t/n) - /) А || t/n
lim
ОО
U.A-F^y
А
= 0
для всех А из плотного множества D, а потому и для всех А ? X.
Отметим, что функция
F (t) = (/ - tS)-'
удовлетворяет условиям теоремы 3.1.30, и при таком выборе F вновь устанавливается результат, полученный в теореме 3.1.10:
lim
А
= 0.
Более общий результат в этом направлении содержит
Следствие 3.1.31. Пусть U и V — сжимающие С0-полугруппы в банаховом пространстве X с генераторами S и Т. Предположим, что оператор S + Т замыкаем по норме и его замыкание является генератором сжимающей С'0-полугруппы W. Тогда
lim
lim I WtA - (<Jt,nVtin)n i4 | = 0,
оо
У*
0.
Доказательство. Возьмем F (/) = UtVt. Поскольку F (0) = /, [| F (t) || ^ 1 и при каждом А ? D (S + Т)
(F(t)-I)A _ U^Vt — I) А [Ut — I) А
3.1. Теория для случая банахова пространства
199
при всех А из D (S -f- Т) — существенной области определения генератора полугруппы W. Аналогичное заключение справедливо и при выборе F (t) = = (I — ^S)-1(/ — tTf1. Из теоремы 3.1.30 вытекает, что
w,a . ш» №Л„)» _ н„ ((/ - ?SLy у А.
3.1.4. Теория возмущений
Если S — генератор полугруппы U ограниченных операторов в банаховом пространстве X, а Р — оператор, действующий в Л", то естественно возникает вопрос, какие свойства Р необходимы для того, чтобы и оператор S + Р был генератором. Если U равномерно непрерывна, то S ограничен, согласно предложению
3.1.1, и S + Р порождает равномерно непрерывную полугруппу в том и только том случае, когда Р ограничен. Если же U — полугруппа класса С0 или С о, то ситуация сильно усложняется и известны лишь частичные ответы в ряде специальных случаев.
Первый из такого рода результатов относится к случаю С0-полугрупп и относительно ограниченных возмущений.
Теорема 3.1.32.Пусть S — генератор С полу группы сжатий в банаховом пространстве X, а Р — диссипативный оператор с D (Р) э D (S) и
I РА || < а IЛ || + ft 15ЛI
при всех А ? D (S) и некоторых a, ft < /, а ^ 0. В таком случае S + Р порождает С0-полугруппу сжатий.
Доказательство. Вначале напомним, что, как было показано после определения 3.1.13, Re г] (S/4) ^ 0 для всякого касательного к А ? D (S) функционала т|. Но поскольку Р диссипативен, то при каждом A ? D (S) s D (Р) найдется такой касательный к А функционал г], что Re г] (РА) ^ 0. Следовательно, Re т] ((S ХР) А) ^ 0 при Я. > 0, т. е. S + ХР диссипативен. Из лемм 3.1.14 и 3.1.15 вытекают замыкаемость S ХЯ и оценка
||(/-a(S + M>)) Л||>||Л||,
справедливая при всех А ? D (S) и а > 0.
Далее используем условие относительной ограниченности.
Прежде всего предложение 3.1.6 дает нам оценку [| (/ — aS)_1|] ^ 1 при всех а > 0. Поэтому
|| аР (I - aSy1 А ||< а || а (/ — aS)~i А || + b || (/ — (/ — aS)'i) А ||
< (аа + 2Ь) И А ||.
Тем самым, если 0 ^ < (2Ь)~\ то можно выбрать а0 так, чтобы (aа -f- 2Ь) <
< 1 при 0 ^ a < a0, а тогда Ра = XtaP (1 — aS)-1 будет ограниченным оператором с ||Яа[|<1. Следовательно, 1 — Ра имеет ограниченный обратный. Затем выпишем тождество
1-a (S + XjP) = (/ - Ра) (1 - a S), которое в сочетании со свойством R (I — aS) = X дает нам
