Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
1 (I - aS) (A) I) ^ I Л ||, R (I - aS) = X
при всех а ? R \ {0}, согласно предложению 3.1.6. Приведенные здесь условия встречаются в теореме Хилле—Иосиды для случая а (X, /^-непрерывных групп, а в теореме Люмера—Филлипса в случае генераторов групп необходимо требовать, чтобы S и —S были диссипативны. Эти результаты мы резюмируем в теореме 3.1.19, добавив к ним характеризацию генераторов через аналитические элементы. Дадим определение таких элементов.
Определение 3.1.17. Пусть S—оператор в банаховом пространстве X. Элемент Л ? X называется аналитическим (целым аналитическим) для S, если он принадлежит D (Sn) (области определения оператора 5Л) при всех м = 1,2, ... и
*€С.— 2 ?|SM|
о
является аналитической (целой аналитической) функцией. 1
В случае когда S — генератор а (X, /^-непрерывной изометрической группы U, данное понятие аналитичности совпадает
3.1. Теория для случая банахова пространства
187
с понятием аналитичности, введенным в определении 2.5.20. Например, если А — аналитический элемент для генератора S группы U, то функция
определена при всех / ? R и всех г из круга сходимости ряда 2] (zn!ti \) I SnA |. Эта функция / удовлетворяет критерию,
содержащемуся в определении 2.5.20, и, следовательно, А ана-литичен для U. Наоборот, если А сильно (слабо) аналитичен для U в полосе {z; | Jm г | < то обычные оценки Коши дают
при | г | < К.
Эквивалентность двух понятий аналитичности для о (X, F)-непрерывной группы изометрий U и ее инфинитезимального генератора S позволяет заключить с помощью следствия 2.5.23, что S имеет о (X, F)-плотное множество целых аналитических элементов. По-видимому, стоит подчеркнуть, что для полугрупп ситуация может в корне отличаться. Имеются С0-полугруппы изометрий, для которых один только нуль является аналитическим элементом.
Пример 3.1.18. Пусть X = С0 (R) (банахово пространство непрерывных функций на R, обращающихся в нуль на бесконечности, снабженное sup-нормой) и Х+ обозначает банахово подпространство в X, состоящее из элементов f?X, для которых f (t) = 0 при / < 0. Введем С0-группу Т сдвигов на X, полагая
Функция / ? X будет аналитической для Т, если она аналитична в обычном смысле. Допустим теперь, что f ? Х+ аналитична дла^. Тогда она должна быть аналитична и для Т, а следовательно, окажется-атГалитической в обычном понимании функцией, обращающейся в нуль на полуоси х ^ 0. Таким образом, f = 0.
Основные результаты, относящиеся к характеризации генераторов а (X, F)-rpynn изометрий, представлены в приводимой ниже теореме.
/(/ + г)=2тГ^М
UtA =||?/,SM|| = ISM || <
п I М
%п
при некотором М. Тем самым
(Ttf)(x) = /(*-/).*€ R, * € R,
и С0-полугруппу Ut левых сдвигов на Х+:
(Utf)(x) = / (х — t), х ? R, / Р R+.
188
3. Группы, полугруппы и генераторы
Теорема 3.1.19. Пусть S — оператор в банаховом пространстве X. Если F = X* или F = X*, то эквивалентны следующие условия:
(1) S — инфинитезимальный генератор о (X, F)-непрерывной группы изометрий U;
(2) S является cr (X, Р)-плотно определенным а (X, F)-а (X, F)-3aMKHytnbiM оператором,
при всех а ? R и А ? D (S) и либо
(Al) R (I — aS) = X при всех а ? R (при одном а > 0 и одном а < 0), либо
(А2) единичный шар множества Ха всех аналитических для S элементов а (X, F)-плотен в единичном шаре пространства X.
Замечание. В С0-случае (F — X*) в условии (2) вместо || (I —
— aS) A J || А || можно потребовать диссипативность обоих операторов +S. Тогда неравенство последует из леммы 3.1.15.
Доказательство. Основная часть теоремы была уже доказана. Эквивалентность условий (1) и (2) -|- (А1) составляет содержание теоремы Хилле — Иосиды применительно к ±5. Импликация (1) =>- (А2) вытекает из предложения 2.5.22. Остается установить, что (2) + (А2) =>- (1).
Пусть А — аналитический элемент для S и / — радиус сходимости сте-
|| (I-aS) А\\^\\А
пенного
ряда ~тТ~ II ^m^ ^ Примем во внимание, что
п
Поэтому
п
Таким образом, если при | /1 < tA задать VfA формулой
то получим, применив неравенство из условия (2):
3.1. Теория для случая банахова пространства
189
Далее, оперируя со сходящимися по норме степенными рядами,"можно получить, что Us+tA = Us (UtA) при | s | + | / | < tA. Следовательно,
\\A\\ = \\U_t(UtA) || > || UtA\\ > || Л ||,
и мы убеждаемся, что |] UfA || = || А || при ) / | < tAl2.
Воспользовавшись тождеством
п п
2{т tm
- SmA = > ——- SmSA,
ml m!
m — 0 m—0
из замкнутости S выводим, что UtA ? D (S) и SUfA = UtSA при \ t \<.tA. Поэтому при | / | < tA/2
