Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
банаховом пространстве X. Если она а (X* И)-непрерывна, то
существуют такие константы М 1 и Р :=г inf/>0 (t~l log || Ut Ц), что
\\Ut jj < MeP'.
Доказательство. Функция t ? R+ i—> r) (UtA) непрерывна для всех г) ? F и А ? X, поэтому, дважды применив принцип равномерной ограниченности, можно утверждать, что найдется такое М < + оо, что || Ut || ^ М при / ? [0, 1 ]. Поскольку всякое число t > 0 представимо в виде t = п -f s, где п — натуральное число, a s f [0, 1), то
1 Ut [| = II UlUs II < M'I+1 < Ме^’
где р = log М. Кроме того, М > || U01| = 1 и
Р + Г1 log М > Г1 log || Ut I) > inf s_1 log || Us ||,
s> 0
откуда и вытекают требуемые оценки на М и р.
Одним из следствий такой оценки роста является то, что \1У{е~№}t^o оказывается а (X, ^-непрерывной полугруппой, которая равномерно ограничена, и тем самым можно применить ре-гуляризационную процедуру из предложения 2.5.18. В доказательстве следующего вспомогательного утверждения мы явно используем предположения а) — в) о паре (X, F).
Предложение 3.1.4. Пусть t к-> Ut— такая а (X, F)-непрерывная полугруппа в X, что \Ut || < Ме&. Пусть ц. — комплексная
оо
мера на R+, такая что j d | jx | (t) е& <оо. Тогда соответствие A^U^ (А), где
оо
U» (А) = j du(t)Ut(A),
о
определяет ограниченный линейный оператор в X. Кроме того, Uц будет а (X, F)-a (X, F)-непрерывным.
Доказательство. Первое утверждение — это по существу предложение 2.5.18. Для проверки второго утверждения надо показать, что (У*г) ? F при всяком т] ? F; здесь UД — оператор в X*, сопряженный к U^. Полугруппа t U*t, в соответствии с определением 3.1.2, a (F, X)-непрерывна на F, и для нее
ОО ОО
^ (Л) = Т1 (и^ (Л)) =j dp (t) т] (Ut (Л)) = j dp (t) (t/;T!) (Л).
о 0
174
3. Группы, полугруппы и генераторы
Поскольку условия а) — в) на пару (X, F) симметричны по X и F, можно вновь npi менять предложение 2.5.18 и убедиться, что f/*T] ? F.
Теперь мы введем генератор с (X, /^-непрерывной полугруппы.
Определение 3.1.5. (Инфинитезимальный) генератор а (X, F)-непрерывной полугруппы U в банаховом пространстве X определяется как линейный оператор 5 с областью определения D (S), состоящей из таких А ? X, для которых существует В ? X со свойством
/СЛ Т] ((Ui-I)A)
г] (5) = urn ,—-——
о 1
при всех т] ? F. Если А ? D (S), то 5 действует на А по правилу SA = В.
Отметим, что полугрупповое свойство U автоматически приводит к тому, что UР (S) s D (S) и
SUtA = UtSA
при всех А ? D (S). Перейдем к рассмотрению различных свойств генераторов и их резольвент. Напомним, что резольвентное множество г (S) оператора S в банаховом пространстве X образовано такими X ? С, для которых XI — S имеет ограниченный обратный оператор, а его спектр о (S) — это дополнение к г (S) в С, и при X ? г (S) операторная функция (XI—S)'1 называется резольвентой S. Основные свойства генераторов и их резольвент содержатся в следующем предложении.
Предложение 3.1.6. Пусть S — генератор а (X, F) -непрерывной полугруппы U в банаховом пространстве X и М, $ — такие константы, что
[| Ut [] < Мexp t ? R+.
Тогда D (S), область определения генератора, а (X, F)-плотна, и он о (X, F)-a (X, F)-3aMKHym. Если Re X > р, то область значений Я (XI — S) оператора XI — S совпадает с X:
R (XI — S) = X,
и для А ? D (S)
|| (XI — S) (А) 1 ^ М~х (Re Я — р) || Л ||.
Резольвента S задается преобразованием Лапласа:
со
(XI — S)-1 А = j cite ',AUtA
О
при всех А ? X и Re %> р.
3.1. Теория для случая банахова пространства
175
Доказательство. Если Re X >> Р, то, согласно предложению 3.1.4, в X можно ввести а (X, F)-a (X, F)-непрерывный оператор Rположив
ОО
RXA = j dse~x$UsA. о
При / > 0 имеем
ОО
_L (Jjt _ I) RKA = J dse~Ks (Us+i — Us) A = о
oo t
= -J- f ds (e~K - e~Ks) USA-------------j- f dse~K ^~{)иаА -* ЯRkA - A,
t J t j
причем первый член здесь сходится по норме, а второй — вс (X, /^-топологии. Значит, R^A ? D (S) и (XI — S) R^A = А при А ? X. Так как UtR\ = RxUf, то из а (X, F)-o (X, F)-непрерывности RА следует, что S коммутирует с й^в том смысле, что
