Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Пункт 2.2.3
Теория аппроксимативных единиц восходит к работе Сигала [Seg 1 ].
Пункт 2.3.1
Теория представлений С*-алгебр тесно связана с теорией представлений топологических групп. Теория групп возникла раньше, и в значительной мере она предопределила развитие алгебраической теории. Предложение 2.3.8, которое характеризует неприводимость представления, — это классический результат теории групп, а эквивалентность условий (1) и (2) составляет утверждение леммы Шура.
Замечания и комментарии
163
Пункт 2.3.2
Понятия состояния и чистого состояния введены Сигалом [Seg 1 ]. Терминология заимствована из физики. Теорема Крейна— Мильмана [Kre 1] подробно разобрана, например, в [ [Yos 1 ] ], [[Rud 2]].
Пункт 2.3.3
Процедура построения представления по состоянию (теорема
2.3.16) предложена Гельфандом и Наймарком [Gel 11 и Сигалом [Seg 1 ], поэтому ее часто именуют конструкцией ГНС. Связь между неприводимостью, чистотой и экстремальностью (теорема 2.3.19) опять-таки изучена в [Seg 1].
Пункт 2.3.4
Теорема Хана—Банаха приводится в каждой книге по функциональному анализу. Прозрачное ее изложение читатель найдет в [ [Rud 1 ] ] или [ [Rud 2 ] ]. Наше доказательство основной структурной теоремы с помощью леммы 2.3.23 представляет собой незначительное видоизменение обычных рассуждений.
Пункт 2.3.5
Как уже указывалось, теория коммутативных алгебр началась с работы [Gel 1 ].
Раздел 2.4
Теория алгебр фон Неймана возникла раньше теории С*-алгебр, ее происхождение связано и с теорией групп, и с квантовой механикой. Первое исследование таких алгебр относится к 1929 г. [Neu 1 ]. Значительная часть стандартной теории была построена в серии работ Мюррея и фон Неймана [Mur 1], [Neu 2].
Пункт 2.4.1
Теорему Алаоглу — Бурбаки можно найти в [[Bou 1]], [[Rud 2]] или в [ [Kot 1]]. Упомянутую в доказательстве теоремы 2.4.7 теорему Банаха можно найти в [[Bou 1, гл. 4, § 2, теорема 5]]. Утверждение о биполяре замкнутого выпуклого множества также приведено в [[Bou 1]].
164
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Пункт 2.4.2
Теорема о коммутанте и первая из теорем о плотности доказаны в самой ранней из статей фон Неймана [Neu 1 ]. Теорема Капланского о плотности появилась гораздо позже [Кар 2]. Эти теоремы очень часто применяются в качестве технических средств доказательства. Заслуживает внимания также следующий результат Кадисона [Kad 1], [Kad 2], близкий по содержанию.
Теорема. Пусть 91 — неприводимая С*-подалгебра в 9? (%>), и пусть {opj, {(plt ..., —два конечных семейства век-
торов из ?>. Если существует такой оператор Т ? 3? (ф), что T(pi = % при i = 1, 2, ..., п, то найдется и А ? 21, с тем же свойством, причем ||Л|| = ||7[[. Если Т самосопряжен, то и оператор А можно выбрать самосопряженным, а если Т унитарен, то моокно выбрать унитарный оператор А.
Эта теорема находит многочисленные применения; например, она позволяет доказать эквивалентность алгебраической неприводимости и топологической неприводимости, упомянутую в в пункте 2.3.1.
Пункт 2.4.3
Теорему Сакаи, дающую абстрактную характеризацию алгебр фон Неймана, можно найти в [ [Sak 1, теорема 1.16.7]]. Термин «W*-алгебра» часто используют применительно к абстрактно определенным алгебрам, в таком случае термин «алгебра фон Неймана» резервируют для операторных алгебр. Другая абстрактная характеризация алгебр фон Неймана была предложена Ка-дисоном в [Kad 3].
Пункт 2.5.1
Хотя не всякая алгебра фон Неймана a-конечна, но всегда в ней содержится возрастающая сеть проекторов Ра ? ЭК, такая что Ра -> И и редуцированные алгебры фон Неймана 9)ta = Ра%ЯРа будут а-конечными; например, можно выбрать Ра = 1ЭК'§а ], где — конечномерное подпространство в ф. В этом смысле любая алгебра фон Неймана порождается a-конечными алгебрами.
Пункт 2.5.2
Теория Томиты—Такесаки восходит к неопубликованной работе Томиты~][Тогш 1 ]. В ней сформулирована основная теорема (теорема 2.5.14) и дано детальное доказательство, которому присущи все главные черты доказательства, приведенного нами.
Замечания и комментарии
165
Изложение этой работы с многочисленными улучшениями и разными приложениями было опубликовано Такесаки [Так 3]. Доказательство основной теоремы было упрощено и сокращено рядом авторов; отметим работы ван Дале [Dae 1 ], ван Дале и Риффела [Dae 2] и Вороновича [Wor 1]. Данное в книге доказательство комбинирует ряд моментов из [Dae 1 ], [Wor 1 ] с некоторыми нашими собственными улучшениями. С теоремой Карлсона, примененной в случае ||Д|]<С + оо, можно ознакомиться по [ [Tit 1 ] ].
Пункт 2.5.3
Аналитические элементы применяются при исследовании представлений групп [Наг 1], [Car 1], они применялись также при изучении свойств самосопряженности [Lum 1 ], [Nel 1 ]. Теорему Крейна—Шмульяна и изложение свойств топологии Макки можно найти в [[Bou 1]]. Эквивалентность свойств слабой и сильной аналитичности установлена Данфордом^Шип 1 ].
Пункт 2.5.4
