Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью свойства (5) из теоремы 2.7Л1 нетрудно получить
Предложение 2.7.13. Каждая алгебра фон Неймана обладает нормальным точным полуконечным весом.
Для доказательства первой части следующей теоремы привлекаются так называемые левые гильбертовы алгебры [Com 1 ]; остальная часть доказательства строится в точности так же, как для состояний в теории Томиты—Такесаки, изложенной в пункте
2.5.2.
Теорема 2.7.14. Пусть со— точный нормальный полуконеч-ный вес на алгебре фон Неймана 5)?; введем 3 ,м, ?>, г| «л, как в предложении 2.7.9 и теореме 2.7.10. Тогда л — нормальный
* -изоморфизм Ш на л (2J?) = л (ЭК)". Отождествим л (2J?) с 'Ж. Существует такой левый идеал 3,м с: 9Я , для которого Ш,м = = 3*~t3a будет а-слабо плотно в Ш', и такое линейное отображение г|; З'а V—> с плотным образом, что г| (А'В') = А'у\ (В'),_ А' ? Ш', В С 3?а, а также
(1) Лг| (Л') = Л'г|з для всех А' ? З'а тогда и только тогда, когда А ? 3?м и г| (Л) = г|з;
(2) Л'г| (Л) = Л г|з для всех А ? За тогда и только тогда, когда А’ ? З'а и г| (Л') = г|з.
Кроме того, r| (3WJ и г| (ЗЯщ) плотны в § и отображения
т1(Л)н^т1(Л*),
156
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
замыкаемы, а их замыкания S и F удовлетворяют условию S* = F. Если S = JAI/2 -— полярное разложение S, то J и А обладают всеми свойствами, перечисленными в предложении 2.5.10, и
АиЖА*и = Э№,
mj = эг.
Так же как и для нормальных точных состояний, для нормальных полуконечных точных весов можно теперь определить модулярную группу и прочие объекты.
Можно ввести естественный положительный конус в гильбертовом пространстве, ассоциированный с нормальным полуко-нечным весом со, определив как замыкание множества
я (A) J г](Л)), где А ? 9№м. Конус обладает всеми свойствами естественных конусов, установленными в пункте 2.5.4; требуемые
при этом модификации очевидны (а именно ^ = Д1/4т] (3DIJ1)+)) [Наа 2 ].
Обратимся теперь к проблеме классификации алгебр фон Неймана.
Определение 2,3.15. Проекторы Е и F, принадлежащие алгебре фон Неймана Ш, называются эквивалентными (пишем Е ~ F), если существует такой элемент W ? Ш, что Е = W* W и F = WW*. Проектор Е в Ш называют конечным, если он не эквивалентен никакому своему подпроектору, в противном случае Е — бесконечный проектор. Алгебру 9W называют полуконечной, если всякий проектор в 2R содержит ненулевой конечный проектор; иначе говоря, в 9Й существует такая возрастающая сеть конечных проекторов, что Еа 1 Алгебра конечна, если И — конечный проектор; в противном случае 2R бесконечна. Если все ненулевые проекторы в центре 30? П ЗЖ бесконечны, то 9W собственно бесконечна, а если бесконечны все ненулевые проекторы 9Й, то алгебра 'чисто бесконечна.
Следующая теорема исключительно важна для классификации алгебр фон Неймана; это «теорема Радона—Никодима», принадлежащая Конну.
Теорема 2.7.16 ([Соп4]). Для венкой пары <р, г|> точных нормальных полуконечных весов на Ш в алгебре фон Неймана 2R существует непрерывное однопараметрическое семейство 11—=»¦ (D\p: : D(f)t унитарных элементов, обладающее свойствами:
(1) о? (А) = : Dq,), of (А) (Щ : D<p)f;
(2) (D^> : Dtp)i+S = (Dty : Dy)t 0f ((D\|r: D<p)s);
(3) (Di|) : D<p)* = (Dtp : D\p)it (D\|з: D<p)t (Dy : Deo), •= (D\|j: Do),;
2.7. Различные результаты и структурные свойства
157
(4) (А) = ф (UAU*), где U — унитарный элемент из ЗЛ <=>¦
<=>- (DiJ> : D(f)t = U*e4 (U).
В доказательстве используется техника, основанная на применении 2 х 2-матриц, в значительной мере напоминающая доказательство леммы 2.5.33. (См. теорему 5.3.34.)
Займемся теперь полуконечными алгебрами фон Неймана.
Теорема 2.7.17. ([Dix 1]). Для алгебры фон НейманаШ эквивалентны следующие утверждения:
(1) ЗЛ полуконечна;
(2) для любого А ? 2Я+, А Ф 0, найдется такой нормальный полуконечный след х на ЭТс, что т (А) > 0;
(3) на ЗЛ существует точный нормальный полуконечный след;
(4) для всякого точного нормального полуконечного веса на ЗЛ соответствующая модулярная группа of состоит из внутренних автоморфизмов ЗЛ, т. е. весу со сопоставляется такой положительный обратимый самосопряженный оператор h, присоединенный к ЗЛ, что of (А) = hltAh~lt при t ? R, А ? Ш.
Наметим вкратце доказательство. Импликация (3) => (1) тривиальна, поскольку проектор Е должен быть конечным, если след т точен и х (Е) <оо. Также более или менее очевидна эквивалентность
(2) -4=ф- (3). Показав, что т (А) = со (/г~М) будет следом, можно получить (4) =>- (3), а с помощью теоремы 2.7.16 выводится
(3) =>-(4) (см. [Так 31). Наконец, для доказательства импликации (1) =>- (2) строится след с помощью теории сравнения проекторов; процедура эта имеет много общего с конструкцией вещественных чисел на базе целых чисел или с построением меры Хаара на локально-компактной группе.
Если {?„} — такое семейство взаимно ортогональных проекторов в центре 3 алгебры фон Неймана ЗЛ, что ЪаЕа =1, то ЗЛ расщепляется в прямую сумму ЗЛ = Sa3JlEa; ЗЯЕа — алгебра фон Неймана с центром З^а- Тем самым, совершив предельный переход (надлежащие уточнения приведены в главе 4), можно будет расщепить алгебру фон Неймана, представив ее в виде обобщенной прямой суммы, или прямого интеграла, факторов (строго говоря, это применимо только к ст-конечным алгебрам фон Неймана). Следовательно, можно свести задачу классификации алгебр фон Неймана к классификации факторов.
