Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
II Я (х) I - II Я (х*х) Ц1/2 ^ р (Л (х*х)у!'2
< р (х*ху/2 < I х*х ||}/2 < || л: Ij.
Кроме того, с помощью техники, которая применяется для определения W* -скрещенного произведения, можно показать, что L1 (21, G) имеет точное представление. Тем самым || ¦ || — действительно норма. Пополнение L1 (21, G) по этой норме называется
146
С*-алгебры и алгебры фон Неймана
С*-скрещенным произведением 91 и G; оно обозначается одним из символов
С* (Я, а) = 91 <8)aG.
Отметим, что взаимно-однозначное соответствие между ковари-антным представлением (?>, я, U) системы {91, G, а] и представлением р скрещенного произведения С* (91, а) задается явно формулой
р (лг) = j я (л: (h)) U (h) dh, х ? St (91, G).
G
Указанное соотношение выражает р через {л, U\; для построения {я, U\ по заданному р учтем, что 91 и G действуют на С* (91, а) мультипликативно; поэтому я и U задаются соотношениями
я (А) р (дг) - р (Ах), U (g) р (дг) = р (вДг),
где
дл: (h) = А (х (h)), ех (/г) = x(g 1h).
Подчеркнем, что р (С* (91, сс)) и {я (91), U (G)\ порождают в одну и ту же алгебру фон Неймана [Dop 1], [Так 1].
& При рассмотрении скрещенного произведения алгебры фон Неймана и группы удобнее иметь дело не с абстрактной алгеброй, а с какой-нибудь конкретной ее реализацией.
Определение 2.7.3. Пусть задана W*-динамическая систем3 {ЭЯ, G, а\ и алгебра действует в гильбертовом пространстве Введем новое гильбертово пространство L2 (?>, G, dg), определив его как пополнение 51 (§>, G), где St ($, G) — множество всех
непрерывных функций из G в ф, имеющих компактный носитель,
со скалярным произведением
'(?. Ч) = J (5 (§)’ П (§)) d§-
о
Зададим в L2 (?>, G) представления я0 для и X для G формулами (я0 (A) t) (h) ocft1 (А) ? (Л),
(*- (g) I) (A) - t (g-Щ.
Легко проверить, что я0 является нормальным точным представлением 9И, а X— сильно непрерывным унитарным представлением G и
X (g) я0 (А) X (g)* = я0 (ag (А)).
Алгебра фон Неймана в L2 (§, G), порожденная я0 (2R) и X (G), называется скрещенным произведением Ш на G и обозначается W* (Ш, а) = 3R®aG.
2.7. Различные результаты и структурные свойства
147
Отметим, что каждому х ? (9№, G) можно сопоставить эле-
мент i алгебры W* (Ш, G), полагая
? = j л0 (х (g)) I (g) dg. а
Непосредственная проверка показывает, что
ху — ху, х* = х*,
где
xy{g)^- \ х (h) ah (у (h~lg)) dh
G
И-
** (g) = A (g)“l ag (x (g'1))*.
Этим устанавливается связь данного определения скрещенного произведения с определением в случае С*-алгебр, и, кроме того, мы убеждаемся, что алгебра L1 (21, G), фигурирующая в определении С*-скрещенного произведения, обладает точным представлением; W* -скрещенное произведение совпадает с алгеброй фон Неймана, порожденной множеством элементов ¦?,*?$ (9К, G).
В дальнейшем мы будем предполагать, что группа G абелева. Большая часть результатов может быть обобщена на неабелевы G, хотя такое обобщение не всегда просто. Условимся для s, t ? G писать s + t = st и s — t = sf1. Двойственную для G группу обозначим G. Напомним, что G представляет собой набор характеров 7 группы G, т. е. гомоморфизмов G в окружность — группу {г ? С, | г| = 1} с операцией обычного умножения. Групповая операция во множестве {7} задается соотношением
<7i72- ё) = <Yi> ё> (72- &>.¦
Снабдив {7} топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах G, получим локально-компактную группу G.
А
По теореме двойственности Понтрягина G = G (как топологические группы).
Рассмотрим теперь С*-динамическую систему {21, G, а} с абелевой G и зададим отображение ау из G в 2 ($ (21, G)), положив (avx) (t) = (7, t) х (t). Тогда av будет *-автоморфизмом (21, G), и по непрерывности его можно расширить до *-автоморфизма С*-алгебры С* (21, а). Тройка {С* (21, a), G, а} является С*-динамической системой.
Аналогично, для -динамической системы {9К, G, а} с абелевой G определим отображение ц. из G в унитарную группу в L2 (ф, G) формулой
I1 (v) ? (0 = <7- 0 ? (О-
148
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Тогда
|л (7) я0 (А) |л (7) * = я0 (А), А ? Ж,
|1 (у) X (t) |i (у)* = {у, t) X (t), t ? G,
и потому
<XV (А) = ц (у) А |Я (V)*, А ? W* (ЗИ, а)
является автоморфизмом W* (Ш, а). Отсюда сразу же вытекает, что {№*(©?, a), G, а) —это W*-динамическая система.
