Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
При исследовании симметрий физических систем средствами операторных алгебр первостепенную роль играет понятие динамической системы.
Определение 2.7.1. С*-динамической системой называется тройка {21, G, а\, состоящая из С*-алгебры 21, локально-компактной группы G и сильно непрерывного гомоморфизма а группы G в группу *-автоморфизмов алгебры 91; таким образом, ccg — автоморфизм 91 при каждом g ? G,
ае = I, agiag2 == аЙ1«2
и g и-з* ccg (А) непрерывно по норме при любом А ? 91 (е — единица группы G, i — тождественное отображение алгебры 91).
144
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Назовем W*-динамической системой тройку |9Jf, G, а}, где SR — алгебра фон Неймана, G — локально-компактная группа и а — слабо непрерывное представление G * -автоморфизмами 9JJ.
Ковариантное представление динамической системы — это тройка (§>, п, U), где — гильбертово пространство, я — невырожденное представление рассматриваемой алгебры в ?, которое в W* -случае предполагается нормальным, и U — такое сильно непрерывное унитарное представление группы G в ?>, что
п(ай(Л)) = Ugn(A)U'g, А ? % (соотв. 9Ю, g ^ Gl).
Отметим, что в W*-случае требование непрерывности, наложенное на g I—^ ccg, эквивалентно требованию сильной непрерывности g н-ag-i на Для G = R это вытекает из следствия 2.5.23, но такой же результат справедлив для любой локальнокомпактной группы G. Продемонстрировать это можно, проводя усреднения с непрерывными функциями в духе определения 2.5.19.
Каждой С*-(соотв. W*-) динамической системе мы сопоставим новую С*-алгебру (соотв. алгебру фон Неймана),- которая называется скрещенным произведением 21 на G и обозначается С* (21, а) = 21 ®aG (соотв. W* (9JJ, а) = 9)l<g>aG). Прежде чем перейти к довольно запутанному определению этих объектов, упомянем четыре главных довода в пользу введения таких понятий.
(1) Существует взаимно-однозначное естественное соответствие между ковариантными представлениями динамической системы и невырожденными представлениями скрещенного произведения.
(2) Во многих интересных для нас случаях алгебра динамической системы оказывается устроенной как скрещенное произведение стационарной подалгебры в 21 (соотв. в 9JJ)
{Л ? 21; ае(А) = AVg ? G]
и «двойственного объекта» группы G (являющегося двойственной группой, если G абелева), причем действие а естественным образом возникает как двойственное действие, определенное на скрещенном произведении. Положительные результаты в этом направлении известны почти исключительно в W* -случае; они были применены для анализа «полевых алгебр» в терминах «алгебр наблюдаемых», когда в роли G выступает группа калибровочных преобразований.
(3) Скрещенные произведения важны для построения примеров как в теории С*-алгебр, так и в теории алгебр фон Неймана. Если действие а свободно и эргодично в определенном смысле, то скрещенное произведение является простой алгеброй в С*-случае и фактором в W* -случае.
1) В таком случае мы говорим об унитарной выполнимости (унитарной осуществимости) группы автоморфизмов G в представлении я. —¦ Прим, перев.
2.7. Различные результаты и структурные свойства
145
(4) W*-скрещенные произведения играют фундаментальную роль в классификации факторов; они позволили провести почти полную классификацию гиперфинитных факторов, которые представляют собой слабое замыкание возрастающей последовательности конечномерных подалгебр. Все факторы, встречавшиеся в математической физике, гиперфинитны, однако физический смысл проведенной классификации еще не ясен. Основные результаты, относящиеся к этой классификации, приведены в пункте 2.7.3.
Обратимся теперь к определению скрещенного произведения в С*-случае.
Определение 2.7.2. Пусть {21, G, а) —некоторая (^-динамическая система. Пусть dg и A (g) обозначают соответственно левоинвариантную меру Хаара и модулярную функцию на G, а & (21, G) — совокупность непрерывных функций из G в 21 с компактным носителем. Множество R (21, G), обладающее естественной структурой линейного пространства, наделим умножением, инволюцией и нормой, полагая
(ху) (g) = J * (A) ah {у (h~lg)) clh,
G
х* (g) = A (g)~l (x GT1))*,
IMIi = \\\x(h)\\dh, x, у ? R (21, G), g ? G. о
Нетрудно проверить, что St (21, G) удовлетворяет всем аксиомам для банаховых * -алгебр, за исключением полноты. Таким образом, L1 (21, G) — пополнение St (21, G) — является банаховой *-ал-геброй, если распространить по непрерывности введенные алгебраические операции. Далее, на L1 (21, G) введем новую норму
1*1 = sup JJ Jt (лс) ||;
71
здесь я пробегает множество всех представлений L1 (21, G) операторами в гильбертовом пространстве. Легко вндеть, что || • || будет С*-полунормой на L1 (2t, G) и
II X II < II X Их,
потому что для любого представления я алгебры L1 (1, G)
