Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
со (А) = Тг (р А), А <Е 91.
Предложение 2.6.13. Пусть SB4? (§) обозначает С* -алгебру компактных операторов в §, ST (?) — линейное пространство операторов в & со следом, снабженное следовой нормой Т н—>
II Т 11тг = Тг j 7 j, a SB ($) — алгебру фон Неймана, состоящую из всех ограниченных линейных операторов в §. Банахово пространство ST (ф) сопряжено к банахову пространству SB'S ($); их ставит в двойственность билинейная форма
Т х А ? Т(ф) х W(?)^Tr(7Yl).
Следовательно, 2 (?>) — второе сопряженное пространство для
SB*8 ($) и всякое состояние со на SB& ($) нормально.
Доказательство. Сначала заметим, что д~ (©) — это подпространство в S’-в (ф), плотное по норме; следовательно, (ф)* ? У (ф)* = 3? (ф), согласно предложению 2.4.3, причем ЗИИ (§)* можно считать подпространством в (§)* (сужая функционалы со ? 3,<ё'(ф)* на подпространство ?Г (ф)). Поэтому для ш ^ (ф)*
со (А) = Тг (ТА), А (= Т (ф),
при некотором подходящем Т ? Э? (?>). Пусть Т — U [ Т | — полярное разложе-
ние; тогда А | Т | = AU*T и, значит,
I Tr (I Г I А) I = ! Tr (TAU*) I = h (А1/*) I ^ЦсоЦ ЦАЦ,
138
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
поскольку А ? Т (g>) влечет AU* ? Т (!р). Тем самым A i—> Тг (| Г|| Л) будет элементом из 34S (§)*.
Далее, если {Ра} — возрастающая сеть всех'проекторов конечного ранга, то
О < sup Тг (| Т ! Ра) < sup I со (I I Ра II = || со || < + оо, а а
такчто|Г| ? Т (§). Таким образом, (.§)* = Т (!р). Утверждение о втором сопряженном пространстве гзытекает из предложения 2.4.3, а явное описание сопряженного пространства позволяет легко сделать вывод о нормальности всех состояний.
При рассмотрении алгебр 91, содержащих подалгебру 5'?Ч? (ф), полезен бывает следующий критерий нормальности состояний на 91.
Предложение 2.6.14. Пусть С*-алгебра% ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ф содержит компактные операторы: S?9i? (?) ^91. Состояние № на 91 нормально тогда и только тогда, когда
SUP {|с,»(Л)|; || Л f| 1, А € 3?<&(§)\ - 1.
Доказательство. Если © нормально, то, очевидно, существует такой проектор конечного ранга Ра, что
sup со (Ра) = sup Тг (рРа) = Тг (р) = 1.
а а
С другой стороны, если условие на норму выполнено, то сужение со на 243 (§) будет состоянием этой алгебры и, значит, должна найтись такая матрица плотности р, что
со (С) = Тг (рС)
при всех С ? (ф). Е~ли (Ра) — возрастающая сеть конечномерных про-
екторов в ф, то оказывается, что
lim со (Ц — Ра) = 0. а
Применив неравенство Коши — Шварца при А ? Щ, получим | (о(А-РаА) |< со Ой -Ра)1/2со(Л*Л)1/2.
Следовательно,
со (Л) = lim 0) (Р«Л) — lim Тг (рРаА) — Тг (рЛ), а а
и мы показали, что (й нормально.
При рассмотрении общих свойств состояний на С*-алгебре 91 (пункт 2.3.2) мы ввели две топологии: слабую *, или ст (91*, 91)-топологию, и равномерную топологию. Слабая* топология обычно оказывается слабее равномерной, потому что каждая базисная окрестность в слабой* топологии очевидным образом содержит некоторую окрестность в равномерной топологии. Ситуация для нормальных состояний интереснее в том случае, когда ¦2”®’ (?) ? 91.
Предложение 2.6.15. Пусть 91 s SB (?) — неприводимая С*-подалгебра С*-алгебры SE (§) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве %>. Следующие условия эквивалентны:
2.6. Квазилокальные алгебры
139
(1) слабая* и равномерная топологии совпадают на множестве нормальных состояний алгебры 91;
(2) алгебра 91 содержит С*-алгебру (<§) всех компактных операторов как подалгебру.
Доказательство. (1) =>- (2). Предположим, что (2) не имеет места. Наметим путь доказательства ложности посылки (1). Во-первых, если 31 f) .2’®’ (§) не сводится к нулевому элементу, то можно показать, что 9?Ч$ (§) != 9L Значит, можно считать, что 81 f) (§) = {0}. Во-вторых, из этого условия и неприводимости 91 следует, что всякое состояние на 91 является слабым* пределом векторных состояний (см. замечания и комментарии в конце главы). В частности, всякое нормальное состояние 81 будет слабым* пределом векторных состояний. Если бы слабая* и равномерная топологии совпадали, то можно было бы всякую матрицу плотности получить из проекторов ранга 1 предельным переходом по следовой норме. Этот вывод абсурден, так что (1) не выполняется.
(2) =>- (1). Состояния можно снабдить слабой* топологией, заимствованной от ЗИЯВ (§)*; эта топология слабее, чем слабая* топология, определенная по 91, так как 91 = 2’'?’ ф). Кроме того, можно наделить равномерной
топологией, отправляясь от SS43 (ф), но легко проверить, что она не отличается от равномерной-топологии, связанной с 91, потому что
sup {I Тг ((р - р') А) I; А е &<В (©), || Д || = 1}
