Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
что
(Q, AMBQ) Ф со (M)(Q, ABQ).
Домножив Л и М на скаляры, можно добиться того, что при некоторых Л,
в ? % и м g Ш
| со (Л+В) — со (М) со (АВ) I > II М [|.
Таким образом, если ЭЛ s Ж', то~(2) не имеет места, так что (2) => (1). Если же вектор ?2 — отделяющий для ЭГ' и 5DI s SI", но ЭЛ =j= СИ, то найдется такое М ? ? Ш, что MQ =/= со (М) Q. Значит,1^существует такое Л ? 31, что | (Л*?2, (М - со (М) 1) Q | > || MJ, т. е.
| со (ЛМ) — со (Л) со (М) I > |j МII-
Остается доказать импликацию (1) =>¦ (3). Для этого потребуется
Лемма 2.6.2. Пусть Ша — убывающая сеть алгебр фон Неймана в гильбертовом пространстве § и
Ш= (]Ша.
а
Допустим, что Q — циклический для ЗИ' вектор и что имеется сеть элементов Ма ? 9№а, такая что существуют следующие слабые пределы:
ср — w-lim MaQ, ср* — w-lim MaQ.
а а
В этом случае ср и ср* принадлежат замыканию множества 9Ж2.
Доказательство. Определим Na = (Ма + М^)/2 и г|> = (ф 4 Ф*)/2; тогда для Л ? имеем
(Лг|), Q) = lim MjVqQ, Q)=limMQ, IV6Q) = (ЛЙ, ф).
Р 1 Р
Но тогда такое же соотношение верно для любого Л g | (J Однако
| U шку - ЯЛ'.
Выберем теперь проектор Р ? ЭЛ' с областью значений ШШ. При А ? 8Л' (ДО, Pi|>) = (РАО, я|>) = П)
= (Лг|), ЯЙ) = (Л1|), Q) = (ЛЙ, Ч>).
Тем самым вектор г|) — Я if ортогонален плотному множеству ЭЛ'Й и
е т.
2.6. Квазилокальные алгебры
127
Аналогичное рассуждение с заменой Na на (Ма — M?)/2i и г() на (Ф — ф*)/2; дает
ф~.ф* - е 2 (
так что ф, ф* ? ЗЛЙ.
Теперь можно завершить доказательство теоремы 2.6.1, показав, что (1) =>
=*» (3). Предположим, что (3j ложно. Тогда найдется элемент А ? Щ", такой,
что при любом а для всякого Ма ? ЭЛа
| w (Ам<х) - ш (А) со (Ма) | > {«о (М* Ма) + со (Л1вЛ1?)^.
Правая часть не может обращаться в нуль, так как со = 0 повлечет
/Иай = 0, а потому и левая часть нулевая, в противоречие с условием. Далее, введем Na, полагая
{и(М*аМа)+Ш(МаМ^ ’
и заметим, что
I w (ANа) — со (А) со (Na) |> 1
ш (NaNa) + “ (NaNa) ~ *•
Из последнего условия ясно, что || NaQ || ^ 1 и || jV^Q |j ^ 1. Следовательно, воспользовавшись слабой компактностью единичного шара в §>, можно указать такую подсеть |Л^а,), для которой существуют пределы
Ф = lim Л/а,й, ф* = ИтЛ/*,й. а' а'
Поэтому
| (Q, Аф) — со (А)(й, ф) ] > 1.
Применим теперь лемму 2.6.2 к 3)1 и Na,, NВозможны два случая. Либо ЭЛс=
S ЭГ, так что ЭЛ' Э Щ", Й цикличен для ЭЛ' и применима лемма, либо ЭЛ ?5
S ЭГ' и вектор Й — отделяющий для Щ". В последнем случае й будет отделяющим для ЭЛ и циклическим для ЭЛ', согласно лемме 2.5.3, так что вновь применима лемма 2.6.2. В любом случае, поскольку в соответствии с последним неравенством ф не может быть кратен й, мы имеем 9Л =j= СИ, т. е. (1) не выполняется.
Перейдем к понятию квазилокальной алгебры. Такая алгебра порождается возрастающей сетью подалгебр {'Да}а?/, удовлетворяющих ряду структурных отношений. Для того чтобы ввести эту структуру, сначала надо обсудить что представляет собой множество индексов I. В приложениях им служит обычно множество ограниченных открытых подмножеств конфигурационного пространства Rv, упорядоченное по включению. Это множество является направленным и обладает рядом других свойств, связанных с операциями объединения и пересечения. Частичные аналоги этих свойств понадобятся нам и в случае более общих семейств индексов.
128
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Говорят, что в направленном множестве / введено отношение ортогональности, если задано бинарное отношение _1_ для элементов /, обладающее следующими свойствами:
а) для всякого а ? / найдется такой элемент (3 ? /, что
a J_ |3;
б) если а < р и р J_ Y, то а 1 f;
в) если а 1 р и а 1 то существует такой элемент б ? /,
что a _L S и б |3, 7. Для /, состоящего из ограниченных от-
крытых подмножеств в Rv, a Р могло бы означать, что а и [3 имеют пустое пересечение.
Впоследствии нам понадобится аналог операции объединения двух множеств. Будем предполагать, что всякая пара элементов множества I имеет точную верхнюю грань а V Р- Тем самым мы считаем, что если а, |3 ? /, то существует элемент а V Р € ^ со свойствами
^aVPSsanaVPS^P;
д) если у ^ а, у 52 |3, то у 52 а V Р-
Отметим еще, что если ст—автоморфизм С*-алгебры 51, для которого ст2 = I, т. е. а (ст (Л)) = А при любом Л ? Я, то всякий элемент A (j 2Х обладает единственным разложением на четную и нечетную части относительно а. Это разложение определяется так:
