Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
/Д^2ЛПЙ = Л„Й ->• 1]) = ./л1/2^,
следовательно,
II Л1/4.№ - AnQ) IP = (я|> - Апй, Д1/2 (т|> - Л„й)).
Тем самым Д1/,41|) ? A^43Rtfi?^. Комбинируя оба включения, получаем
5» = Д'^ЭЛ+Й = Д'^Ж^Й.
Если &' — естественный конус, соответствующий (9Л\ й), то;?' совпадает с замыканием множества элементов вида
A'j (Л') й = / (/ (Л')) / (Л') Й = / (Л) ЛЙ = Л/ (Л) й,
где А — j (Л') ? 5Ш. Значит, Поскольку Л-1 — это модулярный опера-
тор, соответствующий (ШГ, й), то из предыдущих рассуждений вытекает, что
& = &'¦ = д-^зо^й = Д"1/4 ал^й.
Этим завершается доказательство свойства (1).
112
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
(2) выводим из (1), приняв во внимание, что
дг<д !/45ш+й = Д1/4ДИ5Ш+Й
= Д!/4а* (Ж+) Q = Д1/45Ш+Й.
(3) можно получить из (2), заметив, что по теореме Бохнера всякая положительно-определенная функция обладает представлением / (х) == jV**d|i (t), где (1 — положительная конечная борелева мера на R. Поэтому / (log Д) = = |дltd[i (t), и (3) вытекает из того, что !? — замкнутый конус.
Для проверки (4) достаточно заметить, что
JAj (А) Й = j (А) АО, = Aj (А) Й, а (5) следует из соотношения
Aj (A) Bj (В) Й = ABj (A) j (В) Й = ABj (АВ) Й.
Следующий наш шаг состоит в подготовке к доказательству самосопряженности $?.
Предложение 2.5.27. (1) Пусть ц ? $ и (rj, АО,) ^ 0 для А (j 3>i+. В таком случае найдется положительный самосопряженный оператор Q', присоединенный к Ж', такой что r| = Q'Q.
(2) и (Q) — сопряженные конусы в ф, т. е.
SW+Q = {Н (j (?, г\)^ 0 для всех г) ?
3K+Q = (j (?, г\)^0 для всех г) ? 3№+0}. Доказательство. (1) Зададим оператор А' на D (А') = 501Й, полагая А’АО, = Лт), А е Ш.
Для всякого унитарного U ? 5DJ имеем
A'UAQ = UAr) = UA'AO,
т. е.
U А'U* = А'.
Далее,
(ЛЙ, А'АО) = (AQ, Ац) = (т), А*АО) > 0.
Значит, А' — положительный симметрический оператор. Пусть Q' — расширение А' по Фридрихсу. Тогда Q' — положительный самосопряженный оператор, а в силу единственности расширения по Фридрихсу
UQ’U* = Q'
для всех унитарных элементов в 501. Следовательно, Q' присоединен к ШГ и
Q'Q = А'О = т|.
(2) Вначале для любого подмножества Яс ® введем обозначение
= 01 € ©; а, 11) > о v§ € Я}.
Однако если А ? 501+ и А' ? то
(ЛЙ, л'й) - (Й, Л'^Л'Л1'-Й) > 0.
Значит, 5Ш+Й ? 5Щ[_Й'' и 5Ш^Й ? 5Ш+Й~. Далее, если г] ? 50{+^^, то из приведенного доказательства утверждения (1) следует, что т| = Q'Q, где Q' —
2.5. Модулярная теория Томиты—Такесаки и стандартные формы 113
положительный самосопряженный оператор, присоединенный к 931'. Пусть Е'п — его спектральный проектор, отвечающий промежутку [0, п\\ тогда
Q’E^ и Q’E'tQ = Q'Q = т). Тем самым т) ? $TO'fQ и ЗЛ+Й'' =
= Щй.
Теперь мы в состоянии установить важнейшие геометрические свойства конуса .
Предложение 2.5.28. (1) Конус !?самосопр я ж е н, т. е.
SP = Й34", где
^ = |11 € (S. л) 0 для всех % ?
(2) Конус 3* является острым, или выступающим, т. е.
Р (}(-&) = \0}-
(3) Если Д = то существует единственное представление
S = Si — S2, где Si, U € & « Si J_ S2-
(4) § совпадает с линейной оболочкой
Доказательство. (1) Если А ? 931^, А' ? 93??, то (Л’^ЛЙ, A~l',4A'Q)= (AQ, A'Q)
= (й, A^A'A^Q) > 0,
так что & cz согласно предложению 2.5.26, (1). Для вывода обратного включения возьмем ? ? т. е. (?, т]) > 0 при всех т) ? &. Определим
\п = fn (log Д) I,
где fn (х) = е~х212,12. Тогда \п ? Па^С-D (Д“) и ln~+I, > со.
Пусть т| ? 3?1. Функция положительно-определенна, поэтому fn (log Д)т] ?
? в силу предложения 2.5.26, (3). Таким образом,
(In, т)) = (I, fn (log Д) т|) > 0, г] ? &.
Пусть А ? Ш+. Тогда Д1/4ЛЙ ? 9i, следовательно,
(Дх!%п, Лй) = (?„, Д'^ДЙ) > 0.
В результате из предложения 2.5.27, (2) получаем, что Д,/Ц|,г ? 5ГО+.Й'' = 93?+Й.
Значит, ?„ ? Д~1/42К+Й S Конус !? замкнут, так что ? = Нт„ ?„ ? тем самым 9° совпадает с
Свойства (2)—(4) вытекают исключительно из самосопряженности конуса !Р. (2) Если | ? & П (—&) = & П (—Ф''), то (|, —?) > 0 и поэтому ? = 0.
• (3) Допустим, что Д = ?. Конус & — это замкнутое выпуклое множество
в гильбертовом пространстве, значит, имеется единственный вектор для которого
II5 — 5i П = inf {II5 — л II: л € П-
Обозначим ?2 = ?i — ?• Пусть г] ? & и X > 0. Тогда ?х -j- Ят| ? & и
