Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Qn = v’En IQ’ I-
T — антилинейный оператор в если для всех г) ? D (Т) и Я?С выполнено равенство Т (Я| + т]) = ХТ% + Т% если D (Т) плотна в ф, то определен (антилинейный) оператор Т*, причем (Т\, г]) = (?, Г*^) для ??D(T),
>| f D (Т*). —Прим. перев.
2.5. Модулярная теория Томиты — Такесаки и стандартные формы 97
Тогда Qn ? 931' и
Q'nQ = U'E'n | Q’ |.Q - U'E’nU'*U' \ Q' | Й
= U'E’nU'*Q0Q = U'E'nU'*l.
Далее,
Q'ntQ = E'n IQ' I = Е’пЪ-
Следовательно, U'E'nb'*% ? D (F0) и
F0 (U'E’nU'*l) = E'n\p.
Учтем, что {?/,} сильно сходится к единичному оператору 11, a U'U'* является проектором, область значений которого совпадает с областью значений Q', содержащей | = Hi. Следовательно, ? ? D (F0) и FqI = г|) = Тем самым
SJ <= Fq cz Sq, т. е. Fq = S*. Меняя ролями S0 и F0, аналогично убедимся, что Sо = F$.
Определение 2.5.10. Зададим операторы S и F как замыкания S0 и F0 соответственно, т. е.
S = S0I F — F0.
Полярное разложение
S = J Л1/2
оператора S определяет единственным образом положительный самосопряженный оператор Д и антиунитарный оператор J1U, Д называют модулярным оператором, ассоциированным с парой (Зй, Q), a J — модулярной инволюцией.
Операторы S, F, Д и J связаны рядом соотношений, которые почти сразу вытекают из определения.
Предложение 2.5.11. Справедливы следующие равенства:
Д = FS, А"1 = SF,
S = JA'/2, F = J Д->/2;
./=./*, У2 = 1
д— 1/2 = УД1/2У.
Доказательство. А = S*S = FS и S = У А1/2, согласно определению 2.5.10 и предложению 2.5.9. Поскольку S0 = S;J1, то же верно и для замыканий, так что S = S'1. Следовательно,
УА>/2 = S = S-1 = А- >/2У*,
откуда У2Л*/2 = УА~'/2У*. Очевидно, оператор УЛ^1,/2У* положителен, поэтому единственность полярного разложения влечет У2 = И. Тогда
У* = У, А-'/2 = УЛ1,/2У,
11 У — антилинейный оператор с D (У) = § и (У|, Ут|) = (г), g), так что У~1 = У*. —Прим. перев.
4 У. Браттели, Д. Робинсон
98
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
н это приводит к соотношениям
F = S* = (Д- V-jy = УД” ‘/2
SF = Д-'/ЗууД-1/2 = Д-1.
Полезно вернуться вновь к примерам, обсуждавшимся во введении, и рассмотреть случаи абелевой ЭН и следового состояния со. В обоих этих примерах вектор Q отделяющий, так как цикличность в сочетании со следовым свойством со (со (В*А*АВ) = = со (ВВ*А*А)) означает, что условия АО, — 0 и А = 0 эквивалентны. Нетрудно проверить, что А = И, S = F = J и, кроме того,
УЭН/д=ЭН', . ЛН'/сЭН;
следовательно,
/ЭН/ = ЭН'.
Таким образом, отличие модулярного оператора А от 11 отображает до некоторой степени свойство со не быть следом. Эти примеры не позволяют судить о возможных свойствах А в общем случае, но сведения, характеризующие А, можно почерпнуть из следующих рассуждений.
Рассмотрим действие оператора S/4S, где А ? Ш. Для всякой пары В, С ? ЭН имеем
(S/4S) BCQ = SAC*B*Q = ВСА*Q
и
В (S/4S) CQ = BSAC*Q = BCA*Q.
Значит, оператор S/1S присоединен к ЭН'.
Допустим сначала, что А ограничен и, следовательно, операторы А-1 = /А/, S и F тоже ограничены. Как мы уже убедились,
5ЭН5д=ЭН', FTt'F^m.
Тем самым
ДЭНА'1 =- AWJJAWMA-WJJA-W = FSTtSF <= FWl'F g= ЭН; отсюда по индукции выводим, что при всех п = 0, 1, 2, ...
А^ЭНА-" <= ЭН.
Далее, для Л ? ЭН, А' ? ЭН', ф, ф ? § рассмотрим целую аналитическую функцию
f (г) = I А ||-2г (ф, [АМА~г, А' ] г|>).
Эта функция / допускает следующую оценку (надо учесть, что || А-11 = 1 /А/I = I А I):
| / (г) | = О (IА ||-2 R*г (IА |1 R* z I)2) =0(1)
2.5. Модулярная теория Томиты — Такесаки и стандартные формы 99
при Re г з» 0, и / (г) = О для г = О, 1, 2, 3, .... Из теоремы Карл* сона вытекает, что / (г) = 0 при всех г ? С, Следовательно,
Д2ЗЛД~г е ЭЛ" = ЭЛ
при всех г ? С. Но и ЭЛ = А2 (Д~гЭЛДг) Д_г ? ДгЗЛД~г, так что
ДгЭЛД~г = ЗЛ, г^С.
/ЭЛ/ = /Д1/2$дед-1/2у = S3KS = ЗЛ'
и, аналогично,
/эл'/ = уд- vm'A^J = гат = зл.
Тем самым получаем
/эл/ = зге'.
Основной результат теории Томиты—Такесаки состоит в том, что эти соотношения остаются справедливы и в общем случае, когда оператор Д не обязательно ограничен, т. е.
/эл/ = ЗЛ' и Д«ЭИД-" = ЭЛ
при всех t ? R.
Доказательство в общем случае строится иначе, чем приведенное выше. Проследить его построение помогает такое соображение: предположим, что в случае следа нам -a priori известно совпадение множеств ЗЛЯ и ЭЛ'?2. Иначе говоря, для всякого А ? ЭЛ существует такой i элемент А' ? ЗЛ', что A*Q. = A'Q. Тогда JAJ = А',
