Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
где!)17 (В) = АИВА~Н. Ключевым моментом доказательства следующей теоремы является оправдание такого обратного перехода, потому что техника преобразования Фурье позволит тогда из факта Ак ? 2ft вывести DH (JA'J) (j На этом пути и будет установлен наш главный результат.
Теорема 2.5.14 (теорема Томиты—Такесаки). Пусть 3ft — алгебра фон Неймана с циклическим и отделяющим вектором Q, и пусть А и / — соответствующие модулярный оператор и модулярная инволюция. В таком случае
при всех t ? R.
Доказательство. Из спектральной теории операторов следует, что функции t ? Ri—>(t|5, Д‘*бД“'*ф) для В ? 5? (§>) и ф, гр ? ф непрерывны и ограничены по модулю числом || В || || ф || || Ц. Поэтому интегрирование билинейных форм позволяет ввести преобразование (В) оператора В при каждом 0:
— ОО
дает обратное соотношение
00
/2ft/ = 2ft'
и, кроме того,
Д«ЗКД-" = Ш
оо
— оо
Выбрав "ф, ф ? D (Д‘/2) Г] D (А 1//2), рассмотрим функцию f (Я) » (Д 1/2'ф, (В) Д1/2ф) + X (Д1/2Цз, h(B) Д"1//2ф)
90
—00
+ Jti/a (д(1/2)-г^ Вд-(1/2)-»ф)).
Воспользовавшись спектральным разложением Д:
Д = J (ц) ц,
2.5. Модулярная теория Томиты—Такесаки и стандартные формы 103
1/2
находим f(X) -
ОО
= J dt (?а W Ф. веа (р) ф) (?)" {(^
— оо
+ (?П-
Но в силу указанного выбора ср, if> можно изменить порядок интегрирования и получить
оо
/ w - j * ,ЕД W Я?Л (р) ф) {(^),,! + (!^),i2} j' -^—0)“
-ОО
= 1*^ (Яд (и) (р) ф) = (t> 6ф);
здесь внутренний интеграл найден с помощью преобразования Фурье, выписанного перед теоремой. Тем самым установлено такое соотношение между билинейными формами на D (Д1,/2 )ПВ(А“1/2):
Д-1/2/*(В) Д1/2 -М1/2/я (В) Д->/2=5.
Из определений легко получить, что коммутируют операторы (D~ ^2 + XD^2) и I}, на S’ (§)), следовательно, последнее соотношение приводит к равенству
/я = 0-1/2 + ^1/2)-‘.
Сопоставив его с леммой 2.5.13, убеждаемся, что соотношение, связывающее А' и Ах, можно обратить, так что
Ах = I\ (JA'J).
Но Ах ? Ш, следовательно, при В' ? ЯЛ'
(Мр, IB', Ix(JA'J)]q*) = 0.
Полагая X = ер и пользуясь определением 1х, выводим:
ОО
J dt ХВ'' Д'7УЛ'М"'7] Ч>) = 0
--ОО
при всех р R. Из обращения в нуль этого преобразования Фурье следует, что
aHja’ja-" ? Ш” = Ш. (*)
Полагая t = 0, имеем
ЛОТУ ^ ал.
Однако, согласно предложению 2.5.11, с парой (ЯЛ', ?2) ассоциирована та же самая модулярная инволюция, что и с (ЯЛ, Й), значит, те же самые доводы приведут к соотношению
УЯЛУ с= ЯЛ'.
104
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Пользуясь тем, что Р = 1, получаем ЭЛ с= УЯК'У с: ЭЛ — и приходим к фундаментальному соотношению теории:
JWIJ = Ж.
Поскольку 73JIV = 3Ji, мы заключаем, что любой элемент А ? 501 имеет вид А = JA'J, где А' ? Ш'. Поэтому (*) показывает, что
Д'МД-1'* 6 931.
Замечание. Мы доказали, что связь элементов А% и А' из леммы 2.5.12 дается равенством Ах = I% (JA'J), а обращение преобразования Фурье позволяет получить, что
оо
AltJA'JA-“ = я-1 ch (яt) { dUr^M ? Ж,
о
где интеграл понимается в смысле слабой топологии операторов на Ж.
Определение 2.5.15. Пусть Ж — алгебра фон Неймана, со — точное нормальное состояние на 9Я, (§,и, яЛ, Q;il) — соответствующее циклическое представление и А — модулярный оператор, ассоциированный с парой (ям (Ж), ?2И). Теорема 2.5.14 устанавливает существование ст-слабо непрерывной однопараметрической группы t н-=» ст“ *-автоморфизмов Ж, которая задается формулой
of (А) = п-1 (Д"яш (А) А'^-
Группа t н-=» ст“ называется группой модулярных автоморфизмов, ассоциированной с парой (Ж, со), или модулярной группой.
Группа модулярных автоморфизмов является одним из наиболее полезных средств дальнейшего анализа алгебр фон Неймана. Она также играет важнейшую роль в приложениях к квантовой статистической механике (см. главы 5 и 6), поскольку равновесная динамика обычно описывается модулярной группой. В этом контексте чрезвычайно важно модулярное условие
(А>/2„и (A) Qа, Д1/2яа (В) Q J = (Уяа (Л*) ?2Ш, /яи (В*) Q J
== ("® (5*) Ц», я® (A*) QJ.
