Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
где К пробегает все выпуклые компактные в а (X, ^-топологии закругленные подмножества X. (Множество К закруглено, если для всех А ? К и Я ? С с | Я | = 1 все ХА ? К-) Предположим сначала, что ц имеет компактный носитель, содержащийся в [—X, Я]. Непрерывность отображения у. t \—% yxt (А) обеспечивает компактность в X множества {уг< (А); |у|= 1, t (j [—X, Я]}; значит, компактно и его выпуклое замыкание К. Поэтому из оценки
l/(il) KIlHlI SUP ГЛ (^ (А) I t € [—х, х]
вытекает, что
I / (Л) KIIHI sup I Г| (С)|. с?к
Следовательно, функционал / является т (F, X)-непрерывным, а значит, и a (F, ^-непрерывным, чем и доказано существование В.
Если носитель ц не компактен, то выберем такую возрастающую последовательность компактов {/Cn}CR, что | ц j (R \ Кп) —¦у 0- Тогда для любого п можно найти Вп ? X, для которого
Л (вп) = | Л Ы И)) dp (t), л ? F.
«п
Оценка
I Л (Вп) - / (Л) I II л IIИIII и I (R\к„)
показывает, что последовательность {Вп} будет последовательностью Коши в банаховом пространстве X, и для ее предела В мы имеем / (л) == Л (В)-
Заметим, что предложение 2.5.18 справедливо и при более общих предположениях; например, условие (4) в определении т, излишне, а от F требуется только, чтобы
(!) И|| = sup {h (Л) |; Ti e [|n I) < i};
(2) о (X, ^-замкнутая выпуклая оболочка всякого
о (X, F)-компактного подмножества в X также была а (X, ^-компактна.
Определение 2.5.20. Пусть в X задана ст (X, ./^непрерывная группа изометрий Элемент А ? X называется аналити-
ческим для xt или х[-аналитическим, если существуют полоса
Т% = {z; | Imz| <Л(
в С и функция /: Т% ^ X, такие что
(I) f (t) = тt (А) при t ? R;
(II) г i^ г) (/ (г)) — аналитическая функция при всех т] ? F. При выполнении этих условий будем писать
f (г) = тг (А), г ? Тк.
Сразу же продемонстрируем эквивалентность слабой аналитичности, т. е. условия (II), и сильной аналитичности:
Предложение 2.5.21. Если А ? X — элемент, тганалитиче-ский в полосе 7\ в смысле определения 2.5.20, то он сильно аналитичен.вТх, т. е. для / (г) = хг (А) верно, что
108
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
(II') lim/j+o/i 1 (/ (z + h) — f (2)) существует в смысле нормы при каждом 2 ? 7\.
Доказательство. Для г f /1 пусть С обозначает окружность радиуса г с центром в г, лежащую в 1х, а К обозначает круг радиуса г/2 с центром в 2. Взяв любое х ? К, запишем интегральную формулу Коши
При фиксированном т) модуль этого интеграла равномерно по ft и g ограничен, так как С отстоит от К. на положительное расстояние г/2. Следовательно, в силу теоремы о равномерной ограниченности, найдется такая константа у, что
Существование производной (d/dz) f (г) обеспечивается теперь полнотой X.
Предложение 2.5.22. Пусть /н-э- xt задает о (X, F)-nenpepbie-ную группу изо метр ий и А ? X. Положим
Все Ап будут целыми аналитическими элементами для xt, || Ап || < < I А I при всех п и. Ап-+А в а (X, Р)-топологии при п —> оо. В частности, таналитические элементы образуют а (X, F)-плотное подмножество в X.
Доказательство. Из предложения 2.5.18 следует, что функции
определены при всех2 ? С, поскольку t 1—-э- е п 2)2 ? L1 (R) при всех г. Для 2 = s ? R имеем
а | т) (т/ (Л)) | JJ г) J (J А |). Ссылка на теорему Лебега о мажорированной сходимости показывает, что z 1—=> т) (fn (2)) — аналитическая функция. Значит, каждый элемент Ап аналитичен для т*.
С
/ (г + /г) — / (г) _ / (г + g) — / (г) I ^ ^
Ап = (я/я)*/21 т, (A)e~nt'dt.
fn (z) = (п/я)'/2 | Т< (Л) е-" V-^dt
fn (s) = (n/nfl2 j %t(A) e n(t 4)2 dt = («/я)1/2 | t/+s (А) Г"<! Л == xs ^(n/n)1/2 j г/ (Л) e-"'2 dt J =xs (Л„).
Но при г} ? F
П (fn (г)) = (п/я)1/2 | n (t, (Aft e~n dt,
2.5. Модулярная теория Томиты — Такесаки и стандартные формы 109
Затем можно получить оценку
IM„||<sup (II Tf (Л) ||} (га/я)1/2 j e~nt2 dt = || А
Далее,
т| (Ап—А)= (п/л)1/2 j e~~nil (tj (xt (А)) — г] (A)) dt
при всех г] ? F. Для любого 8 > 0 можно выбрать такое б > 0, что j т] (тt (Л)) — т] (А) | < е/2 при 11 \ < б. Кроме того, при достаточно больших N
(М/Л)1/2 1 е~К* dt< 4ИНЦ ’
\<\>6
Таким образом, при ti :> N
h (Ап — А) | < (п/л)1'2 ( е-пП |т| (xt (Л)) - т, (А) \ dt
\t |>б
+ (гс/я)1/2 I е-пе~\ч\ (х{ (Л)) — г] (A) \dt
I *\ > б
< (е/2) (п/л)11'2 f /,/2 dt
I М5*8
+ 2 || г) |||[Л||(п/я)1/2 f e~nt* dt \t\>b
