Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Сформулируем важное следствие теоремы.
Следствие 2.5.32. Существует единственное унитарное представление в ф
а ? Aut (3??) I—^ t/ (oi)
группы Aut (Wl) всех * -автоморфизмов алгебры Шеф, обладающее следующими свойствами'.
а) U (a) A U (сс)* = а (А), А ? Ж;
б) U (а) & s & и, более того,
U (а) Н (со) - Н (а"1* (со)), со ? ЭЯ*+>
где (а* со) (А) = со (а (Л));
в) [U (a), J] = 0.
Отображение а ? Aut (Ш) >—> U (а) ? U (Aut (2К)) является гомеоморфизмом между Aut (Ш) и U (Aut (Tt)), снабженными топологиями нормы. Оно^ также будет гомеоморфизмом, если U (Aut (Ш)) снабдить слабой, сильной или сильной* топологией (все они эквивалентны), a Aut (Ш) рассматривать с топологией сильной сходимости Aut (Ш)* на 9К* (в этой топологии а --> |3 тогда и только тогда, когда а* (со) i—> |3* (со) по норме для всякого со ? ЭК*).
Замечание. Можно получить также частичное обращение этого утверждения. Если U — такой унитарный оператор в ф, что U!P = 3>, то существует такой проектор Е ? П 9JT, что
иши* = mE + m'(i- Е).
Это утверждение содержится в теореме 3.2.15. (Отметим, что все алгебры ШЕ + 27?' (И — Е) имеют один и тот же естественный конус ^.)
2.5. Модулярная теория Томиты—Такесаки и стандартные формы 117
Доказательство теоремы и ее следствия довольно длинное Оно основано на нескольких вполне понятных, но утомительных выкладках в сочетании с хитрой методикой сравнения, связанной с «удвоением» или «учетверением» нашей алгебры. Основные этапы доказательства выделены в виде лемм, но мы советуем пропустить их при первом чтении.
Лемма 2.5.33. Пусть и |2 — циклические и отделяющие для ЭЛ векторы, а §4 — четырехмерное гильбертово пространство с ортогональным базисом г|г;-, г, /=1, 2. Далее, пусть g обозначает алгебру 2х2-матриц в §4, порожденную матрицами Ein для которых = Sjk^ih Пусть g' — коммутант g, т. е.
алгебра 2х2-матриц, порожденная такими Fij, что Fijr\hl = = ЬцЧ\ы- Наконец, пусть R = ? ® §4, Я0 = ?i ® Ли + ® 'Пгг,
91 = ЭЙ ® g, и пусть Uij\ § > К будет изометрией, определенной
так, что 11^1 = |®г]гу.
Тогда вектор ?20 — циклический и отделяющий для 91 в В.. Соответствующая инволюция Sa0, ассоциированная с (Ш, ?20), удовлетворяет условию
+ UuS^' 1JJ12 + (У 12^2. 51^21 + и22^1^22}
где Sglf |г обозначает замыкание оператора, определенного'на равенством
sh, |гл?2 = а%, а е art.
Доказательство. Любой элемент А ? Ш имеет вид
^ = S АЧ ® ЕЧ’ i. 1
где Aij ? 5W. Поэтому
AQq — Ац?,1 ® Т)ц -)- Л12|2 ® 'Пхг Ч- А21%>1 ® 'П21 Ч- -^22^2 ® 'Пгг-
Это показывает, что вектор Q0 — циклический и отделяющий для 5У1, так что можно определить Sa как замыкание отображения /1Qqi—> А*®о’ введенных обозначениях имеем
А’ = А^ ® ?п + А^ ® Е12 + А\2 ® Е21 + А|2 ® Е22 и, следовательно,
j4*Q0 = ^llli ® Ли "Ь ^21^2 ® rll2 ^*2^1 ® Л21 "Ь ^22^2 ® Лгг-
Переходя к замыканию в обеих частях равенства, убеждаемся в замыкаемости Sgi | и получаем соотношение
'2 Ч = "iWn + ltuh + uuhz. huh + и22si,u22-
Лемма 2.5.34. Примем обозначения леммы 2.5.33, и пусть *Sgt, |2 = J%lt будет полярным разложением оператора
|2. В таком случае
= + ^21^i,, i2^*2 + ^12^|2, i.^21 + ^22JlJ^h (*)
118
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
и
= + ^21^|2, 1^21 + ^12^1,, 12^ш + ^22^1,^22- ( * *)
Доказательство. Рассматривая Ss2 , и Аа как 4 X 4-матрицы, сразу же убеждаемся, что правая часть в (*) представляет собой изометрию М на Й, а правая часть (* *) является положительным самосопряженным оператором. Полярное разложение единственно, поэтому достаточно проверить, что Jq А^2 = = SQa, а это — простое упражнение.
Лемма 2.5.35. Существует единственный унитарный элемент
V ? Ш', такой что (в обозначениях лемм 2.5.33 и 2.5.34) Jq0 (1 ® ® ?2i) Jq„ = U' <8> Рц, и для этого унитарного элемента
Доказательство. Поскольку = Ц, то из леммы 2.5.34 вытекает, что
Jh. б/b. ?, = JU, |Л.. L =
Для 4; j ? ф имеем тогда
Ч (И ® Еп) Ч ( 2 ® Л,-,-) = ?n ® ’In + ® Ла1
= (fl®fu)(S ^®^).
Тем самым
•Ч111 ® ?п) 'Ч = И ® ^П, и аналогично проверяется, что
Ч ® Е>>) Ч = ^ ® ^22•
Но 11 ® ?21 — это частичная изометрия с начальной областью (И ® Ец) Я и конечной областью (И ® ?12) Я. Значит, и оператор Уя (И ® ?21) должен быть частично изометрическим с начальной областью (11 ® Fn) $ и конечной (11 ® ® f2a) Я- А так как
•40 ®?2i) Ч € Э1' = 9К'вЭ',
то должен найтись такой унитарный оператор U' ? 9JT, что
Ч С3 ® ^21) Ч =U' ® Р.ц.
Далее, возьмем 4 ? § и, применив лемму 2.5.34, убедимся, что
