Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что, продолжив модулярную группу в чисто мнимую точку t = i/2, это условие можно представить в виде
со(о“/2 (Л) о—i/2 (В)) = со (ВА).
Пример 2.5.16. Если ЯК = 9? (ф) в сепарабельном §, то каждое нормальное состояние со имеет вид
со (А) = Тг (рЛ),
2.5. Модулярная теория Томиты — Такесаки и стандартные формы 105
и ш является точным тогда и только тогда, когда оператор р обратим (пример 2.5.5). В этом случае, как можно проверить, модулярная группа задается равенством at (А) = pliAp~lt. Модулярное условие будет выполнено, так как
со (ВА) = Тг (рВА) = Тг (р (р~ 1/,2Лр'/2) (р|/2Вр—1/2)).
f
(Этим условием о определяется однозначно, см. теорему 5.3.10.)
2.5.3. Интегрирование и аналитические элементы для одно параметрических групп изометрий банаховых пространств
Построение самосопряженного конуса, о котором шла речь во введении к этому разделу, производится с помощью модулярной группы, описанной в предыдущем пункте. Для того чтобы в полной мере использовать это средство, нам потребуются некоторые общие результаты об однопараметрических группах. Такие группы подробно изучаются в главе 3, там мы вновь воспользуемся предварительными результатами этого пункта.
Рассмотрим комплексное банахово пространство X и замкнутое по норме подпространство F его сопряженного X*, такое что F = X* или X = F*: в последнем случае будем писать F = X*.
Пусть а (X, F) обозначает локально-выпуклую топологию на X, индуцированную функционалами из F.
Определение 2.5.17. Однопараметрическое семейство t? R н—> |—>ограниченных линейгых отображений X в себя называется ст (X, F)-непрерывной однопараметрической группой изометрий в X, если:
(!) xt,+t2 = xtixl2, tu 4 ? R и т0 = i1*;
(2) || х, || = l, t e R;
(3) t1—з” tj, (А) при всех A ? X является ст (X, /^-непрерывным, т. е. ^ 1—s- r| (xt (А)) непрерывно при любых А ? X и ri ? F;
(4) А и-> xt (А) является ст (X, F)-o (X, /^-непрерывным отображением при всех t ? R, т. е. г) ° xt ? F для любого ri ? F.
Отметим, что при F = X* условие (4) выполняется автоматически. В любом случае (4) означает, что мы можем ввести однопараметрическое семейство |т*[ отображений F, полагая (т*г|) (А) = = Ti (xt (А)). Легко проверить, что t\-*-xt окажется ст (F, Х)-не-прерывной группой изометрий F. Далее мы увидим (следствие 2.5.23), что при F = X* условие (3) сводится к требованию сильной непрерывности t*-^xt, т. е. требованию, что /1—xt (А) непрерывно в норме X для любого А ? X. Если F = X*, то ст (X, /^-непрерывную группу xt будем называть С0-группой, а в случае F = X* группу х( называем С^-группой. Группы, которые изуча-
i обозначает тождественное отображение. —Прим. перев.
106
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
ются в нашей книге, попадают в одну из следующих трех категорий:
(1) Сильно непрерывные унитарные группы в гильбертовых
пространствах, т. е. X = F = где §.= — гильбертово
пространство.
(2) Сильно непрерывные группы *-автоморфизмов С*-алгебр; это автоматически группы изометрий, согласно следствию 2.3.4.
(3) Слабо непрерывные группы *-автоморфизмов алгебр фон
Неймана, т. е. X = 3№, F = ЗЙ*. В этом случае (4) выполняется автоматически, в силу теоремы 2.4.23. Отметим еще, что если 1\—> Ut — такая сильно непрерывная группа унитарных операторов, что Е Ш при всех t, то, как нетрудно убедиться,
t*—(Л) = UtAUt представляет собой слабо непрерывную группу *-автоморфизмов Ш.
Предложение 2.5.18. Пусть на X определена а (X, F)-непрерывна я группа изометрий t \—> rt, и пусть ц — борелевская мера на R, имеющая ограниченную вариацию. Тогда для каждого А ? X существует такой элемент В ? X, что
11 {В) = j 11 (т, (Л)) d[i (О
при всех ч\ (z F.
Этот результат позволяет нам ввести для приведенной выше процедуры усреднения обозначение, более ясно указывающее на ее природу.
Определение 2.5.19. Если Л и В связаны, как в предложении 2.5.18, мы будем писать
В = ^xt (Л) da (/).
Доказательство предложения 2.5.18. Прежде всего заметим, что выпуклое замыкание любого сг (X, ^)-предкомпактного подмножества в X будет а (X, ^-компактным. Если F = Xt, это следует из теоремы Алаоглу, а если F = X* — из теоремы Крейна — Шмульяна.
Ввиду оценки
| j Л (т< И)) dp (t) ] < И Л || I и || г) || найдется такое / ? F*, что
/ (Л) = j1! fa И)) dp (i), Tl € F
(в случае F = Xt доказательство окончено).
Для доказательства существования такого В ? X, что / (л) = Л (5), Д°_ статочно проверить a (F, X)-непрерывность {. Но по теореме Мэкки a {F, .^-непрерывные функционалы на F совпадают с т (F, ^-непрерывными функционалами, где т (F, X) — топология Макки на F. Эта последняя задается полунор
2.5. Модулярная теория Томиты—Такесаки и стандартные формы 107
