Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
II5Ж — Б и* ^ Я + А-л — Б IIя.
т. е. || 1|2 || ?2 + II2- Н° это эквивалентно тому, что
IIЛ II2 + 2Х Re (|а, т])> 0
114
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
при всех Я > 0. Следовательно, обязательно Re (|2, il) > 0- По предположению г = la. и Jr\ = г), поскольку т] ? Р. Таким образом,
(h, 11) = (Да. ^1) = (42. л)»
и (4г> Л) должно быть вещественно, а значит, (|2, т]) > 0. Так как^ = то 4а ? В результате | = |х — |2, 4Ъ 42 ? Покажем, что 1 4а- Поскольку (1 — X) 4i ? & при 0 ^ Я ^ 1, имеем
II?! -IIP <11(1 ~Ц ll-lf,
т. е.
II 62 IIs <11 62-«ill*.
Опять-таки это эквивалентно неравенству
Я2 К |р — 2Я (4Ь у >0,
и в итоге должно выполняться условие (4i, 4г) < 0- Но оба вектора 4i и |2 лежат в так что (|i, 4,) = 0. Для доказательства единственности разложения
предположим наличие двух разложений
I = I] la> li. ?2 € ^> ?i _L
I = Til — 112. Т]ъ Т)2 е #>, Til 1 Т12.
В таком случае
h — ill = l2 — 112-
Следовательно,
II !i — ill f = (li — ill. I2 — Л2) = —(Tli, 42) — (Si. TI2) < 0.
Таким образом, 4i = т]1; поэтому и |2 = r)2, т. e. разложение единственно.
(4) Если 4 ортогонален линейной оболочке 5s, то 4 ? ZP'' = значит. (4, 4) = 0 и 4 = 0.
Пример 2.5.29. Пусть ЯК = 3? (ф), где § конечномерно. Рассмотрим нормальное состояние (о, заданное матрицей плотности р, т. е.
со (А) = Тг (рЛ)
при всех А ? Ш. В примере 2.5.5 было показано, что критерием точности состояния со является обратимость р. Воспользовавшись явным описанием модулярной группы: а“ (А) = рг/>4р г/, приведенным в примере 2.5.16, найдем, что
& = |i|m; i|M = (р1/4Л*Лр-1/4) йм, А с як}.
Условие самосопряженности вытекает из соотношений
(¦Фв, = Тг (р (р-'^Вр'74) (р'/4А*Ар~1/4))
= Тг (91'2В*Вр1'2А*А)
= Тг ((Вр1/2Л*)* (Вр1/2Л*)) > 0.
Предложение 2.5.30 (универсальность конуса 53). (1) Если вектор ? принадлежит 3*, то он является циклическим для 9W тогда и только тогда, когда он является отделяющим для Ш.
(2) Если 1 ? 9* — циклический и, следовательно, отделяющий вектор, то для модулярной инволюции Л и естественного положительного конуса ассоциированных с парой (9№, ?), имеем
2.5. Модулярная теория Томиты—ТакеСаки и стандартные формы 115
Доказательство. (I) Если 5 ? 5s — циклический для 931 вектор, то ¦/?—• циклический для 931' = JSMJ. Следовательно, | = Д будет отделяющим для 931, и наоборот.
(2) Пусть Sj обозначает замыкание отображения А\ ь-=> А*1, А ? 931, a Fe — замыкание отображения
А'1 Л'*|, А' е 931'.
Для всякого А ? 931 получаем
JFiJAl = JFi (JAJ) | = J (J A J)* I = A*l = SiAt Таким образом, Sg c= JFiJ.
Аналогично проверяется, что
h <= JStJ,
так что
JSi = FtJ.
Но тогда
(./Sg)* = S{J = F%J = JSg,
следовательно, ./Ss самосопряжен.
Далее, покажем, что JSt положителен. Поскольку JSz совпадает с замыканием своего сужения на 93i?, достаточно убедиться, что (А|, У5|Л|) > 0 для всех А ? Эй. Однако
(Л|, JSzAl) = (Л|, JA*l) = (|, A*j (Л*) |) » О,
так как и ?, и A*j (Л*) | лежат в
Теперь мы знаем, что St = •^gAg'*2 — J (^g)- Значит, единственность полярного разложения влечет равенство Jg = J.
Для доказательства последнего утверждения предложения укажем, что порождается элементами вида
л/g (Л) I = Л/ (Л)
Но | ? поэтому, в силу предложения 2.5.26, (5), Aj (Л) ? ? Тем самым ^ с: &. А так как ^ с SPg — то IP =
Обсудив эти геометрические свойства естественного положительного конуса 53, покажем теперь, что всякая положительная нормальная форма на 33? представима единственным образом посредством вектора из этого конуса. В качестве следствия будет установлена выполнимость автоморфизмов 33? унитарными элементами, которые оставляют конус на месте.
Теорема 2.5.31. Сопоставим каждому \ 9 нормальную
положительную форму cog ? 2Я*+, полагая
щ(А) = (?, АЪ), А е ЯЯ.
В таком случае
а) для любой формы со ? 9RH;+ существует такой единственный вектор % ? что со = Ogj
116
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
б) отображение Н, н-^ cog есть гомеоморфизм, если и снабдить топологией нормы. Кроме того, имеет место оценка
III — 11 f < || со, - I < I) g — Т] 111 + ц ||.
Замечание. В теореме определено отображение | G ^^ “5 € ? ЭК*+. Обратное отображение обозначим со i—\ (со). Можно показать, что со н-\ (со) — монотонно возрастающее и вогнутое отображение по отношению к естественному упорядочению конусов 9И*+ н . Можно также получить формулу для Е, (со), если со < Ссоа при некоторой константе С. Тогда со (Л) = (Л'?2, Л A 'Q) с единственным А' ? 9W1 (по теореме 2.3.19), и оказывается, что | (со) = | Л'Д-1/21 Q, где j ^4'А—1'/21 — положительная часть полярного разложения оператора Л'А-1''2. Мы опускаем доказательства этих утверждений.
