Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
< е/2 -f е/2 = е.
Тем самым Ап—> А в ст (X, f)-топологии.
Следствие 2.5.23. Из а (X, X*)-непрерывности группы изометрий т= пространства X следует сильная непрерыв-
ность отображения t \—>xt (т. е. t \—>xt (А) непрерывно в норме X для любого А ? X), а также существование в X плотного по норме множества целых аналитических элементов для х.
Доказательство. Согласно предложению 2.5.22, целые аналитические элементы для тt образуют ст (X, Х*)-плотное подмножество в X. Это подмножество, очевидно, является подпространством, следовательно, оно плотно в X по норме, как нетрудно показать, используя теорему Хана — Банаха. (Если бы это подпространство не было плотно, то нашелся бы ненулевой линейный функционал, обращающийся в нуль на его замыкании, что противоречило бы свойству ст (X, Х*)-плотности.) Но если А — аналитический элемент, то 11—> тt (А) — дифференцируемое отображение (в топологии нормы), в силу предложения 2.5.21; тем более 11—> xt (А) непрерывно по норме. Наконец, для любого А ? X можно найти последовательность {Ап} аналитических элементов, сходящуюся к А, так что
|| т, (А) — А || < || xt (А — Ап) || + || т/ (Ап) — Ап II + || Ап — А ||
= 21| Ап-ЛЦ + Цт, (Ап)-АпЦ.
Следствие 2.5.24. При условии а (X, XJ-непрерывности группы. изометрий х = множество Y, состоящее из тех А ?
110
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
? X, для которых t * т, (А) непрерывно по норме, совпадает с замкнутым по норме ст (X, X ^-плотным подпространством, полученным замыканием по норме множества целых аналитических элементов для т.
Доказательство. Пусть У0 — замыкание по норме множества целых аналитических элементов. Оно а (X, Хф)-плотно в X, согласно предложению 2.5.22, и те же рассуждения, что и в доказательстве следствия 2.5.23, показывают сильную непрерывность т| у0- Если А — целый элемент для т, то, как легко проверить, и (А) — целые при всех г ? С. Следовательно, целые элементы для т |у совпадают с целыми элементами для т. Поскольку У — это замыкание по норме множества целых элементов для х |у, из следствия 2.5.23 выводим, что Y0 = Y.
Наконец, заметим, что в том случае, когда слабо непрерывная однопараметрическая группа *-автоморфизмов алгебры фон Неймана имеет вид %t (А) = А‘МА—где А — положительный обратимый самосопряженный оператор, то и при г ? С
т. (Л) = А'2ЛА“'г
для всякого аналитического Л. Обе части последнего соотношения представляют собой билинейные формы на целых векторах группы t Аи. Равенство их вытекает из совпадения аналитических в полосе вокруг вещественной оси функций, принимающих одинаковые значения на этой оси. Этот простой факт неоднократно будет использован в следующем пункте.
2.5.4. Самосопряженные конусы и стандартные формы
На протяжении этого пункта ЗЯ обозначает алгебру фон Неймана в гильбертовом пространстве имеющую циклический и отделяющий вектор Q. Модулярный оператор и модулярную инволюцию, ассоциированные с парой (9W, Q), обозначим соответственно через А и /. Соответствующая модулярная группа автоморфизмов обозначается ot, а ЭК0 обозначает *-алгебру целых аналитических элементов для а. Символ j мы употребляем для антилинейного *-изморфизма, переводящего в Ш' по правилу / (Л) = JAJ.
Определение 2.5.25. Естественный положительный конус ZP, ассоциированный с парой (ЗЯ, Q), определяется как замыкание множества
|Л/(Л)Я;Л ? 3W}.
Подчеркнем, что этот конус в точности соответствует положительным конусам, которые обсуждались во введении к этому разделу для случаев абелевой алгебры и алгебры со следом. Он является некоммутативным аналогом конуса положительных функций из L2, рассматриваемого в абелевом случае.
2.5. Модулярная теория Томиты — Такесаки и стандартные формы 111
Предложение 2.5.26. Замкнутое подмножество № ^ § обладает следующими свойствами'.
(1) & = A'/^Q = A-’/^Q = Aj/4^q = д-1/4^2 и,
следовательно, & — выпуклый конус;
(2) A lt<P = для. всех t (j R;
(3) если / — положительно-определенная функция, то
f (log А) ф ?=
(4) если \ 3*, tno J\ =
(5) если А ? Ш, то A j (А) &
Доказательство. (1) Для А ? ЗЛ0, полагая В = (Л), имеем
Д1''4 ЛЛ*Й = а_ 1/4 (А) а_ </4 (Л*) Q = а_,./4(Л) а1/4 (л)*а = o_{/i(A) /Д1/2а(./4 (Л)Й = ст_1/4(Л) Ja_ (-/4 (Л)Й =Bj(B) й.
Так как а_(/4(9Л0) = 9Л0 и ЗЛ0 сильно* плотно в 9Л, то полученное соотношение и теорема Капланского позволяют заключить, что
Bj (В) Й ^ А1/4ЭЛ+Й ^ Д1''45Ш+й.
при всех В ? Ш.
Таким образом,
^ s д1/4$ш+д ^ д'/4ал+й.
С другой стороны, 9Л0+ сильно* плотно в 9Л+, по теореме плотности Капланского, так что ЗЛ0+й плотно в ЗЛ+Й. Для ? 9Л+Й выберем такую последовательность Ап ? ЭЛо+. что Л„й т|). Тогда соотношение, рассмотренное в начале доказательства, показывает, что Д'/4Л„Й ? 5s. Однако
