Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
И *- ШТ1„ II > II ?п — Лп II*.
и первое из неравенств, указанных в лемме, выводится из второго предельным переходом по п.
Конец доказательства теоремы 2.5.31. Утверждение б) сводится к лемме 2.5.41, а а) вытекает из б) и лемм 2.5,38 и 2,5.39.
Доказательство следствия 2.5.32. Пусть ос: 9К-»- ЯК —- произвольный *-автоморфизм, и пусть ? ? & — вектор, представляющий состояние
А I—»¦ (?2, а"1 (А) ?2),
(?, А1)= (О, от» (А) О).
124
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Тогда ? является отделяющим для ЗК, а значит, по предложению 2,5,30, и циклическим. Введем оператор U = U (а) на 9JIQ, полагая
UAQ = а (А) %.
Имеем
|| UAQ f = (?, а (А*А) |) = (Q, A* AQ) = || АО ||2,
так что, замкнув U, мы получим изометрический оператор, который обозначим той же буквой U. Так как | — циклический вектор, то область значений U плотна, следовательно, U унитарен, U* = U'1, т. е.
U*AQ = ст1 (А) I.
Далее, при А, В ? Ш
UAU*B% = UAoC1 (В) О = а (ЛсГ1 (В)) ? = а (А) В\.
Отсюда
а (А) = UAU*, Л ? ЭЯ, и этим доказан пункт а) (в роли U (а) выступает U). Теперь заметим, что SU*Al = Scr1 (А) О = а'1 (Л)* Q = ст1 (Л*) Q = U*A*\
= U*SiA%.
Переходя к замыканиям, получаем
= U’ = U*
ИЛИ
UJU’UAV2U* = JAlf.
В силу единственности полярного разложения, UJU* = J, или, что равносильно,
[U, J] = 0,
и этим доказан пункт в). Опираясь на в) и а), для Л ? ЯЛ получаем UAj (Л) Q = а (Л) / (а (Л))
Поскольку | ? !?, из предложений 2.5.26, (5) и 2.5.30, (2) выводим, что
U3> =
Если ф ? 9Я*+, то при всех Л ? Ш
(Щ (ф), AUI (Ф)) = (I (Ф). U*AU% (Ф))
= (1 (ф), а’1 (Л) ? (ф)) = ф (а"1 (Л))
= (а-i* (Ф))(Л) = (| (аг1* (Ф)), А\(а'* (Ф))).
Учитывая единственность в векторного представителя состояния, заключаем, что
U (а) | (Ф) = | (а"1* (ф)).
Тем самым доказан пункт б), и, кроме того, отсюда следуют тот факт, что a i—>
•I—> U (а) является представлением, а также единственность U (а).
Непрерывность отображений a i—> V (а) и V (а) i—> а в различных топологиях, указанных в следствии, вытекает из теоремы 2.5.31 б), с учетом того
обстоятельства, что
I! ?/ (®) — V (Р) II = II (?/ («) — U (Р)) UII.
2.6. Квазилокальные алгебры
125
Последнее равенство объясняется тем, что каждый вектор г|з ? ,?) обладает единственным разложением (предложение 2.5.28) вида
'Р = % — 'Фа + i (Ч-з — ti),
где я|)? ? i|)x _L 'Фг, ts -L 4’4i и U (а) сохраняют такое разложение. Совпадение слабой, сильной и сильной* топологий на группе V (§>) унитарных операторов в устанавливается с помощью тождества
II (V- U)Vf= ((V-U)lp, IV-U)$)
= 2II 1)3 IIs — (1/г)1, иц) — (?Лр, Vi(j).
Таким образом, если VU слабо, то V—> V сильно, а также У*-» U* сильно.
2.6. Квазилокальные алгебры
2.6.1. Кластерные свойства
В предыдущих разделах этой главы мы описали общую структуру С*-алгебр и алгебр фон Неймана. Теперь мы обсудим свойства определенного класса С*-алгебр — квазилокальных алгебр — и частично изучим свойства специального класса состояний, именуемых локально-нормальными, на этих алгебрах.
Отличительной особенностью квазилокальных алгебр является наличие порождающей их возрастающей сети локальных подалгебр. Для дальнейшего анализа полезна
Теорема 2.6.1. Пусть С* -алгебра 91 операторов в гильбертовом пространстве имеет циклический единичный вектор ?2. который определяет состояние со на 2 (ф):
(о (В) = (Q, ВО), В ? &(§).
Пусть {Эйд! — убывающая сеть алгебр фон Неймана; определим алгебру 9W равенством
Вд = П 3W«-
а
Если Ш Е 91' или если ЯП ? 91" и вектор ?2 — отделяющий для 91", то эквивалентны следующие условия:
(1) ЭК состоит из элементов, кратных единице;
(2) для любого А ? 91 найдется индекс а, такой что
| со (AM) — со (А) со (М) | с ЦМ|
при всех М ? 9№а;
(3) для любого А ? 91" найдется такой индекс а, что
| со (АМ) — со (А) со (М) | « {со (М*М) + со (ММ*)\и2 при всех М ? Ша.
126
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Доказательство. (3) =*- (2). Сначала заметим, что, заменив А на Л/е, можно вместо неравенства в условии (2) рассмотреть неравенство
| со (ЛМ) — со (Л) со (М) | < ? |] М ||.
Аналогичное замечание применимо и к условию (3). Поэтому (3) => (2), так как {со (М*М) + со (MM*)f12 < V2 [| М ||.
(2) =*- (1). Если условие (1) неверно, то существуют такие Л, В ? и М ? ЭЛ,
