Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
при всех В ? 9Кр с Р J_ а'. Комбинируя эти оценки при б = е/7, получим нужный нам результат.
Теорема 2.6.10 дает критерий, позволяющий выяснить, является ли состояние на квазилокальной алгебре факторным. Мы приведем теперь условия, обеспечивающие квазиэквивалентность двух факторных состояний; грубо говоря, мы покажем, что они квазиэквивалентны тогда и только тогда, когда они «совпадают на бесконечности».
Следствие 2.6.11. Пусть {3^а}а?,—квазилокальная ал. гебра, удовлетворяющая всем условиям теоремы 2.6.10, и пусть oj], о, — факторные состояния 91. Следующие условия эквивалентны: (Г) о»! и со2 квазиэквивалентны;
и применение предложения 2.6.9 показывает, что
Рассмотрим теперь три перечисленных условия. Ясно, что (3) =$- (2), а из (2)
Тг (р„ (Ц - Е)) < 8.
+ со ((i — Е) A (i — Е) В).
| со (АВ) — со (ЕАЕВ) |< со (И — Е) |j А || {2со (В*В)1/2 + со (ВВ*)1/2| < 361| А || {со (В*В) + со (ВВ*)}1/2.
Аналогично,
[со (АВ) — со (А) со (В)| < |со (ЕАЕВ) — со (ЕАЕ) оо (В)| +
+ 661| А || {со (В*В) + со (ВВ*)}1/2.
136
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
(2) по заданному е > 0 можно указать а так, чтобы
| а)х (В) — о)а (В) | < е I В ||
при всех В ? !¦% с р _L а;
(3) всякому ? > О можно сопоставить такой индекс а ? /, что
| а»! (В) — со2 (В) | с е {tOi (В*В) -\- со2 (В*В) +
• + щ (ВВ*) + со2~(ВВ*)\^
при всех В ? с Р 1 а.
Доказательство. Согласно предложению 2.4.27, и со2 квазиэквивалентны тогда и только тогда, когда состояние со = (cox-|- <в2)^2 факторное. Для любых А и В из Щ
со (ЛВ) - со (Л) со (В) = ~ (% (ЛВ) - со! (Л) сох (В)) +
+ -J- (“2 (-45) — со2 (Л) со2 (В)) + (сох (Л)— со2 (Л))(С0! (В) — со2 (В)).
Если сох и со2 — факторные состояния, то, как показывает эта выкладка, выполнение условий (2) и (3) настоящего следствия обеспечивает выполнение для со условий (2) и (3) из теоремы 2.6.10. Тем самым со — факторное состояние и Ш], со2 квазиэквивалентны.
Обратно, если со — факторное состояние, то имеются две возможности: либо coj = со2 и тогда (2) и (3), очевидно, выполнены, либо =f= со2. В этом Последнем случае выберем такой элемент Л ? U аШа, что сох (Л) =f= со2 (Л). Проведенная выкладка позволяет представить сох (В) — со2 (В) как линейную комбинацию со (АВ) — со (А) со (В) и со,- (АВ) — со,- (А) со,- (В), i = 1, 2. Применив критерий теоремы 2.6.10 к трем состояниям со, соь со2, получаем (2) и (3).
На этом мы закончим общее обсуждение кластерных свойств. К этой теме мы вернемся в главе 4.
Пример 2.6.12. Пусть / — произвольное множество индексов и // — направленное множество конечных подмножеств / (упорядоченное по включению). Каждому а ? / сопоставим некоторое конечномерное гильбертово пространство а каждому Л ? If сопоставим тензорное произведение
®Л = ® а(Ел
и введем (?>л). (Определение тензорного произведения см. в пункте 2.7.2.)
Если Aj П Л2 = 0, то ® §Лг и алгебра изоморфна
С*-подалгебре StAi X И^алгебры 0Сл , где Ил< обозначает единичный оператор в §д2. Неявно отождествляя ЖА^ и SlAi ® 11Л , убеждаемся, что алгебры образуют возрастающее семейство матричных алгебр. Объединение
этих алгебр представляет собой неполную нормированную алгебру с инволюцией. Пополнение этой алгебры по норме представляет собой квазилокальную алгебру Я. Приняв, что Ах Л2 означает Лх (~| Л2 = 0, нетрудно 4 убедиться, что Я удовлетворяет условиям коммутации для квазилокальной алгебры; так,
ЛхЛ2 = Лх ® Л2 = A2Ai, Лх ? Ая € ШАг.
2.6. Квазилокальные алгебры
137
Точной верхней гранью для Alt Л2 является Aj (J Л2, и легко видеть, что ЯЛ, (J 5ШЛ порождает 5Di . .
I 2 л 1 и л 2
Более того, всякое состояние со на Щ. локально-нормально, потому что все состояния матричных алгебр нормальны (более общий результат приведен ниже в предложении 2.6.13). Таким образом, теорема 2.6.10 применима к любому состоянию на Ж и характеризует те из них, которые порождают фактор-представления.
Алгебры типа рассмотренной в последнем примере называются РГФ-(равномерно гиперфинитными) алгебрами, если I счетно. Такие алгебры важны для описания квантовых систем в статистической механике.
2.6.2. Топологические свойства
Продолжая изучение квазилокальных алгебр, рассмотрим некоторые топологические свойства локально-нормальных состояний, и в частности свойство метризуемости. Эти сведения о метризуемости понадобятся в главе 4, где обсуждается разложение состояний.
Прежде всего приведем информацию о состояниях неприводимых подалгебр алгебры SB (§); нас особенно будет интересовать С*-алгебра SB4? (§) компактных операторов в ?. Условимся называть состояние со на неприводимой подалгебре 91 s SB (%>) нормальным, если оно каноническим образом определяется матрицей плотности р:
