Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
= Тг (| р — р' I) = sup {| Тг (р — р') А |}; А || А || = 1}.
Таким образом, достаточно доказать, что слабая* и равномерная топологии, порожденные S'S’ (?>), совпадают на N^. Пусть со ? N^', тогда найдется такая
матрица плотности р, что
со (А) = Тг (рД).
Следовательно, по е > 0 можно указать такой проектор Е ? Ж конечного ранга, что
0 < Тг (р (1 - Е)) < е;
например, в качестве Е можно выбрать подходящий спектральный проектор оператора р. Далее, рассмотрим окрестность состояния со
W (со; е) = )со'; со' ? Ngp sup | (со — со') (ЕАЕ) < е |.
||Л||= 1
Множество W (со; в) содержит слабую* окрестность, так как Е имеет конечный ранг. Значит, ограниченные операторы в Еф обладают конечным базисом из матричных единиц и условие
sup | (со — со') (ЕАЕ) | < е
ц а ц= 1
является следствием конечного набора условий вида
I (со — со') (Д,) I < е.
Теперь для со' ? W (со; е) запишем
Тг (р' (И — Е)) = Тг (р (И — Е)) + (со — с¦>')(?),
откуда
О < Тг (р' (1] - Е)) < Тг (р (1] - Е)) + | (ш — со') (Е) | < 2е.
140
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Затем при произвольном А ? 3“& (§) применим неравенство треугольника и неравенство Коши — Шварца и в результате получим
| (со - со') (А) | < | (со - со') (ЕАЕ) | + 21|Л || (j^Tr (р (!-?)) + VТг (р'(1 -?))• Тем самым можно утверждать, что
sup 1 (со — со') (А) |<е + 2^е +21^2е , л €2*, и л ц = 1 т. е. окрестность в равномерной топологии
U (со, б) = {со', со' ? || со — со' || < 6}
содержит окрестность W (со, е), если е + 2 Yъ + 2 1^2е <6.
В описанном выше случае совпадения топологий, разумеется, слабая* топология оказывается метрической топологией на т. е. множество нормальных состояний метризуемо в этой топологии. Если алгебра Я сепарабельна, то множество всех ее состоя-
ний всегда метризуемо в слабой* топологии, однако результат для нормальных состояний справедлив без всяких предположений о сепарабельности.
Рассмотрим теперь множество состояний Е^ квазилокальной алгебры 91, порожденной подалгебрами {91а}а?/. Множество можно наделить, как и выше, равномерной топологией и ст (91*, 91)-, или слабой*, топологией. Но можно ввести и третью топологию на воспользовавшись специальной структурой ЭД. Эта топология называется локально-равномерной; она задается семейством окрестностей
V (со; а, е) = {со'; со' 6 SUP |со'(Л) — со(Л)| < е },
1МИ = 1,
где со ? ?щ, а ? / и е > 0. Очевидно, локально-равномерная топология сильнее, чем слабая* топология, и слабее, чем равномерная. Если ЭД порождается возрастающей последовательностью подалгебр 91.,, то локально-равномерная топология метризуема; соответствующую метрику можно задать формулой
II ю w || X1 2 п\\о1— щ ||„
И 1 2 II 2j 1 + II — С02 II п ’
п> 1
где
1% = С02||я = sup { I со* (А) - со2 (А) [; II А || = 1, А ? «„}.
Теорема 2.6.16. Пусть 9t, |9la|ag/—квазилокальная алгебра, и пусть каждая алгебра 9la изоморфна некоторой подалгебре я (9la) алгебры 9? (?а), причем я (%а) ^ (%>а). Состояние со
на 91 назовем локально-нормальным, если любое его сужение со|^
нормально. На множестве локально-нормальных состояний совпа-
2.6. Квазилокальные алгебры
141
дают слабая* и локально-равномерная топологии. Таким образом, если 91 порождается возрастающей последовательностью подалгебр, то множество локально-нормальных состояний метризуемо в слабой* топологии.
Доказательство этого утверждения легко получить, привлекая результат предложения 2.6.15, обеспечивающий совпадение локальных топологий на основании условия я (91а) э 29S ($а), и учитывая, что |9la} порождает 91. Детали мы опускаем.
2.6.3. Алгебраические свойства
Рассмотрение свойств квазилокальных алгебр 9t, {9ta}a?/
мы завершим, продемонстрировав, что при вполне общих предположениях об 91ге алгебра 91 проста. В последующих рассуждениях под идеалом С*-алгебры подразумевается замкнутый двусторонний идеал (отметим, что такие идеалы самосопряжены, согласно предложению 2.2.19).
В доказательстве следующего предложения использованы только условия (1) и (2), входящие в определение квазилокальных алгебр (определение 2.6.3).
Предложение 2.6.17-. Пусть 9t, — квазилокальная
алгебра, и пусть 3 — идеал в 91. Тогда 3« = 3 П будет при каждом а идеалом в 9Та и
з - и з„.
а
В частности, представление я алгебры 91 точно, если я |gj точны при всех а.
Доказательство. Ясно, что За является идеалом в при любом а и
