Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Ф в.
Отметим, что в С*-случае эргодичность означает, что все орбиты действия, индуцированного а на спектре ст (91), плотны в о (91), а в W* -случае эргодичность означает, что 91 не содержит а-инвариантных нетривиальных проекторов. Это вытекает из теоремы 2.1.11, (А) и предложения 2.4.22.
Данное определение, конечно, вполне пригодно и для неабелевой 91, но в таком случае часто бывают полезнее другие понятия эргодичного и свободного действия автоморфизмов [Так 1 ], [Zel 1], [Така 11, [Gli 3]. Обсуждение конечномерного случая подсказывает нам, что справедлива
Теорема 2.7.6. ([Eff 1]). Пусть С*-динамическая система {91, G, а} такова, что 91 абелева и сепарабельна, G дискретна, счетна и аменабельна 11, а действие а эргодично и свободно. Тогда алгебра С* (91, а) проста.
В случае алгебр фон Неймана верна, например, такая
Теорема 2.7.7. Пусть W*-динамическая система {3№, G, ос} такова, что Ш абелева и в-конечна, a G — счетная группа, дейст-
1} См. пункт 4.3.2. — Прим. перев.
2.7. Различные результаты и структурные свойства
151
вующая свободно и эргодично на Ш. В этом случае W* (Ш, а) — фактор.
Такого рода факторы называют факторами Кригера [Kri 1J. Этот фактор неизоморфен 3! (?), кроме случая, когда система {3D?, G, а} изоморфна системе {L°° (G), G, сдвиги}. Известно, что фактор Кригера гиперфинитен, и обратное утверждение «почти» верно [Con 3]. Конструкции, связанные с указанной, играли большую роль в ранних попытках построения неизоморфных факторов.
2.7.2. Тензорные произведения операторных алгебр
В предыдущих разделах книги при доказательствах различных утверждений нам время от времени встречалась следующая конструкция. Располагая С*-алгеброй 21, мы рассматривали все п х п-матрицы (Ai<n, Ац € 91. с операциями умножения и инволюции
(Atl) (Вif) = ( S AikBkj) , (Atj)* = (Л,- ).
Эту *-алгебру матриц обозначим 23 =•= 21 ® Мп. Нетрудно показать, что на 23 имеется единственная С*-норма со свойством
И ® Ы = 1(y»)1HI|.
где ||(7о')|| обозначает С*-норму п х n-матрицы (ytj). Алгебра 23 называется тензорным произведением 21 и Мп.
Обобщим эту конструкцию, перейдя сначала к рассмотрению конечного набора векторных пространств Хъ Х2, ¦¦¦¦, Хп. Тогда существует единственное векторное пространство ©”=iX* со следующими тремя свойствами:
(I) для каждого семейства \xt\, состоящего из xt ? Хг, найдется элемент ®гл:г в ©,-Xj, зависящий от xt полилинейным образом, и конечными линейными комбинациями таких элементов ис-' черпывается всё ©гХг;
(II) (свойство универсальности) для любого полилинейного отображения я прямого произведения пространств X,- в векторное пространство У существует единственное линейное отображение Ф : ©г X, -> Y, такое что
Ф = л ({**))
при всех Х{ d Хг;
(III) (ассоциативность) для всякого разбиения (JkIk мно-
жества {1, ..., п] существует единственный изоморфизм пространства ©гХ,- на ©Л (Qi?ikXi), переводящий в ®k (©,• <= ,kXi).
152
2. С* -алгебры и алгебры фон Неймана
В том случае, когда Xt = фг — гильбертовы пространства, можно наделить ©*¦?>; скалярным произведением, распространив по линейности произведение
Ь, ® Лг) - ГШ- 'Пг)-
Пополнение ©*?* по норме, ассоциированной с таким скалярным произведением, называется тензорным произведением гильбертовых пространств для его обозначения применяется символ
0&.
1=1
П
Отметим, что ортонормированный базис пространства ®
i=i
образуют векторы ® где kt при разных i меняются независимо,
i=i 1
a (У/Ч —¦ортонормированный базис в фг.
Если Xt = 2Яг — алгебры фон Неймаиа в гильбертовых пространствах фг, то можно ввести на ©;33ij структуру *-алгебры, полагая
j® 4,-j (® = 0 (® Л«'|‘ = ® [А]).
Зададим теперь отображение я: ©;9Яг ->¦ 9? (®;ф;) формулой я |"® |® E;j = ® А^.
Это я оказывается точным *-представлением ©;2Jt;. Слабое замыкание алгебры операторов я (0;2Кг) называется тензорным произведением алгебр фон Неймана 2йг; оно обозначается ®?=iПо теореме 2.4.26 всякий изоморфизм т между алгебрами фон Неймана Ш и У1 представйм в виде т (А) = U ((А ® И) Е') U*, где И — единичный оператор в некотором «большом» гильбертовом пространстве ф, Е' ? 3W' ® 2 (ф), а U — изометрия. С помощью такого представления можно показать, что ®?=i3Wj зависит лишь от классов изоморфности перемножаемых алгебр и не зависит от ?г.
_ Если Xt = будут С*-алгебрами, то ситуация с тензорным
П
произведением сложнее. Опять-таки можно превратить © 91г
?=1
