Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Теория самосопряженных конусов и стандартных форм была независимо развита Араки, Конном и Хаагерупом [Ага 2 ], [Con 1 ], [Наа 1 ]. Данное нами ее частичное изложение следует [Ага 3], [Наа 2]. Трюк с введением 4 х 4-матриц, использованный в доказательстве теоремы 2.5.31, придуман Конном [Con 1 ]. Конн также показал, что самосопряженный конус (в гильбертовом пространстве) оказывается естественным конусом алгебры фон Неймана тогда и только тогда, когда этот конус обладает двумя свойствами, названными им ориентируемостью и однородностью.
Пункт 2.6.1
Важная роль квазилокальной структуры в С*-алгебрах, применяемых в математической физике, была впервые отмечена Хаагом [Haag 1 ]. Кластерные свойства типа описанных здесь были впервые установлены Пауэрсом [Pow 1 ] в контексте РГФ-алгебр. В частности, Пауэрс доказал лемму 2.6.7, предложение 2.6.8 и теорему 2.6.9 применительно к этому простому случаю. Работа Пауэрса нашла дальнейшее развитие и обобщение во многих публикациях, например [Ага 4), [Haag 2], [Lan 2], [Rob 1], [Ruel ]. Понятие алгебры на бесконечности было введено в [Lan 2], а лемма 2.6.4 принадлежит Араки и Кисимото [Ага 4]. Мы следовали главным образом изложению, данному в [Rue 1 ], с улучшениями, предложенными в [Ага 4] и [Rob П-. Боле^
166
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
подробное обсуждение статистики Ферми дано в [Rob 1]. Если Ша= ??(фа), то ситуация будет следующая. Для всякого а существует такой оператор Ra ? S? (?>а), что
Я! = 11, RaARa = o(A), А?Жа,
и локальная нормальность со в сочетании с предположением |9Ла V = ЭКаур позволяет заключить, что
яи (ад; n aR«vp) = (яш (ЯаЭДр +
Далее, если автоморфизм а слабо непрерывен в представлении (Фа» лш)> т0 можно, воспользовавшись этим отождествлением алгебр, утверждать, что ЗтПли(^е) = Зш- Кластерные свойства вновь характеризуют случай тривиального Зю-
Пункт 2.6.2
Наше обсуждение топологий частично следует [Rob 2]. Два результата, использованные в доказательстве предложения 2.6.13, можно найти в [[Dix 2]]. В следствии 4.1.10 из этой книги установлен тот факт, что из 91 П (ф) ф {0} следует 91 э SB42 (ф), а утверждение о векторных состояниях содержится там же в лемме
11.2.1. Пункт 2.6.3
Более подробное описание структуры идеалов и прочих алгебраических структур в случае квазилокальных алгебр имеется в работах [Gli 2 ], [Вга 1 ], [Вга 2 ] и [Ell 1 ].
3. ГРУППЫ, ПОЛУГРУППЫ И ГЕНЕРАТОРЫ
3.1. Теория для случая банахова пространства
F-Физические теории состоят по сути дела из двух «элементов»: кинематической структуры, отображающей мгновенную картину состояний и наблюдаемых системы в фиксированный момент времени, и динамического правила, описывающего изменение этих состояний и наблюдаемых во времени. В классической механике точечных частиц состояние представляется точкой дифференцируемого многообразия, а наблюдаемые — функциями на этом многообразии. В квантовой механике систем с конечным числом степеней свободы состояния задаются лучами в гильбертовом пространстве, а наблюдаемые — операторами, действующими в этом пространстве. Для систем частиц с бесконечным числом степеней свободы мы намерены отождествить состояния с состояниями на определенной алгебре полей, или алгебре операторов. В каждом из этих примеров физических теорий динамическое описание системы заключается в задании потока — однопараметрической группы автоморфизмов рассматриваемой кинематической структуры, — представляющего движение системы с изменением времени. В классической механике мы имеем дело с группой диффеоморфизмов, в квантовой механике — с группой унитарных операторов в гильбертовом пространстве, а в случае систем с бесконечным числом степеней свободы — с группой автоморфизмой алгебры наблюдаемых. Столь же общепринято описание симметрий физических систем посредством групп автоморфизмов основной кинематической структуры, и в этой главе и в следующей за не-читатель ознакомится с различными аспектами такого теоретиков группового описания. В настоящей главе мы будем заниматься в основном однопараметрическими группами и проблемами, связанными с исследованием динамики.
В стандартных формулировках теорий взаимодействующих частиц динамический поток вводится неявным образом. Движение системы естественно описывать в терминах ее бесконечно малых изменений. Такое бесконечно малое движение описывается одним из вариантов гамильтонова формализма, который позволяет явно учесть взаимодействие частиц. В классической механике бесконечно малые изменения определяются векторным полем, в квантовой механике — самосопряженным оператором, гамильтониа-
1бЗ
3. Группы, полугруппы и генераторы
ном, а для систем с бесконечным числом степеней свободы аналогичную роль играет какой-либо тип дифференцирования соответствующей алгебры. Первой из основных проблем, связанных с таким подходом, оказывается интегрирование заданной «инфи-нитезимальной динамики» с целью получить динамический поток. Эта проблема, которая будет в центре внимания на протяжении данной главы, разумеется, и при положительном решении позволяет сделать лишь небольшой шаг на пути анализа физической теории. Интересные характеристики теории связаны с дальнейшими свойствами потока, вроде дисперсионных, эргодических и пр. Интегрируемость отражает лишь свойство полноты описания, в отличие от описания неполного, что в свою очередь соответствует отсутствию либо наличию катастрофического поведения системы. Однако эти вопросы почти не изучены в случае систем с бесконечным числом степеней свободы, так что решение проблемы интегрируемости составляет нетривиальный первый шаг в изучении динамики таких систем.
