Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
3.1. Теория для случая банахова пространства
171
которое можно решить методом последовательных приближений. В результате получим
О
Оценка на || Uf || вытекает из последней формулы.
Таким образом, группа ограниченных операторов
в банаховом пространстве X равномерно непрерывна тогда и только тогда, когда ее генератор S ограничен. Под генератором мы подразумеваем равномерную производную группы, взятую в точке 0. Отметим, что в силу такого определения суммы и равномерные пределы генераторов снова будут генераторами. Более того, если U и V — равномерно непрерывные группы с генераторами S и Т соответственно, то
1
Ut — Уt — t | dWu (S — T) V(i-x) t 0
й, следовательно,
II Ut-Vt I < | f | exp j | /1 (I S I + IГ ||)} I S — Г ||.
Тем самым, если генераторы S равномерно приближают Т, то группы U равномерно сходятся к V, причем эта сходимость (по норме) будет равномерна по t на любом конечном интервале в R. В другую сторону, если % || SJ, Я, > || Т ||, то прямая выкладка
дает
j dte-xt(Ut -Vt)
(М - Т),
S — Т = (XI — S) откуда
сю
||S —Г||< (ISfl + b) ЦТ\+%) j dte-u\\Ut-Vt\\.
о
Значит, при равномерной сходимости U к У на конечных интервалах R генераторы S групп U будут равномерно сходиться к Т.
Этим завершается описание равномерно непрерывных однопараметрических групп. Эти группы- не могут иметь широкого применения при описании динамики, поскольку их генераторы (а они ассоциируются с гамильтонианами) с необходимостью ограничены. Тем не менее такие группы представляют определенный интерес для общей проблемы изучения симметрий.
3.1.2. Сильная, слабая и слабая* непрерывности
В этом пункте мы рассматриваем группы и полугруппы ограниченных операторов в банаховом пространстве X, имеющие более слабые свойства непрерывности, нежели рассмотренное выше. Для
172
3. Группы, полугруппы и генераторы
обсуждения этих свойств обратимся к формализму, аналогичному использованному в пункте 2.5.3.
Пусть F — замкнутое по норме подпространство пространства X*, сопряженного к X, и пусть 0 (X, F) обозначает локальновыпуклую топологию на X, индуцированную функционалами из F. Мы предположим, что:
а) \\Л 1 = sup || 1] (А) |; т\ ? F, || ц || = 1};
б) 0 (X, Z7)-замкнутая выпуклая оболочка всякого 0 (X, F)-компактного множества в X также о (X, Z7)-компактна;
в) 0 (F, Х)-замкнутая выпуклая оболочка всякого 0 (F, X)-компактного множества в F также o(F, Х)-компактна.
Эти условия выполнены, в частности, при F = X* и F — X* (см. пункт 2.5.3), и два таких специальных выбора F будут особенно важны в дальнейшем.
Часто бывает полезна другая топология, согласованная с двойственностью, — топология Макки т (X, F). Эта топология, кратко описанная в пункте 2.5.3, задается семейством полунорм
А ? X I->рк (А) = sup I г) (А) I, п<Ек
где К пробегает множество компактных подмножеств в F. В общем случае топология Макки определяется по выпуклым компактным закругленным подмножествам К множества F, однако в силу предположения в) такое определение будет эквивалентно нашему. Особенно проста т (X, /^-топология при F = X*. Единичный шар пространства X* по теореме Алаоглу—Бурбаки
0 (Х*,Х)-компактен, и потому т (X, Х*)-топология совпадает с топологией нормы. Вообще можно показать, что т (X, F)-топология на X является сильнейшей из локально-выпуклых топологий, обладающих свойством: все т (X, /^-непрерывные функционалы принадлежат F. Отсюда следует вывод о т (X, F)-плотности в X всякого его о (X, /^-плотного выпуклого подмножества.
После такой топологической прелюдии займемся вновь группами и полугруппами. Введем классы групп и полугрупп, которые будут изучены в этом пункте.
Определение 3.1.2. Полугруппа (соотв. группа) t-yUt ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве X называется 0 (X, Р)-непрерывной полугруппой (соотв. группой), если
(1) t ь-> UtA при всех А ? X непрерывно в 0 (X, F)-топологии, т. е. t н-> г] (Ut, А) непрерывно при всех А ? X и т} ? F\
(2) А ь-> UtA при всех t является 0 (X, F)-a (X, /^-непрерывным отображением, т. е. г]°Ut-? F для любого r\ ? F.
Если F = X*, то U называется слабо непрерывной, или Сц-полугруппой] если F = X*, то слабо* непрерывной, или С\-полугруппой.
3.1. Теория для случая банахова пространства
173
Мы увидим ниже (следствие 3.1.8), что всякая слабо непрерывная полугруппа оказывается сильно непрерывной, т. е. t^^UtA непрерывно относительно - нормы X при всех А ? X. С проявлением этого факта мы уже сталкивались в специальном случае С0-групп изометрий (следствие 2.5.23). Для того чтобы разобраться с общим случаем, вначале нам необходимо оценить рост || Ut ||.
Предложение 3.1.3. Пусть U — \Ut\t^o —полугруппа в
