Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
а следовательно,
~ Re n (USA) |<=0 < 0.
Последнее условие в точности совпадает с условием диссипатив-ности
Re г| (5Л) < 0.
Итак, продемонстрировано, что генератор S сжимающей С0-полугруппы диссипативен.
Хотя ниже мы убедимся, что свойство диссипативности полезно при изучении С0-полугрупп сжатий, применения в случае произвольных о (X, F)-непрерывных полугрупп оно сразу не находит. При попытке несколько видоизменить определение и рассматривать только касательные функционалы г| из F мы сталкиваемся с проблемой существования. Если, однако, настаивать на определении диссипативности по отношению к X*, то не очевидна диссипативность генератора S полугруппы U, обладающей а (X, /^-непрерывностью, поско'льку функция s ь-ri (UbA) при ri ?
? X* и А ? D (S) не обязана быть дифференцируемой.
В качестве следующего шага выведем свойства диссипативных операторов, имеющие отношение к проблеме характеризации С0-генераторов.
Лемма 3.1.14. Пусть S — диссипативный оператор с областью определения, плотной по норме в банаховом пространстве X. Тогда S допускает замыкание относительно нормы в X и это замыкание диссипативно.
Доказательство. Возьмем такую последовательность Ап ? D (S), что Ап-^-0, SAn—у 0. Мы должны показать, что А -= 0. Выбрав произвольное е > 0, подберем В ? D (S) так, чтобы \\А + ВЦ ^ е. Далее, при к < 0 рассмотрим такой касательный функционал т]„ ^ к В + имеющий единичную норму, что
0. Единичный шар в X* слабо*-компактен по теорем?
S.i. Феория для случая банахова пространства
Алаоглу — Бурбаки, поэтому последовательность т)я> я, содержит подпоследовательность Т]п, которая сходится в слабой* топологии к т]Л ? X*. В силу условий
IIА, 11=1, (В + ХАп) = ||В -f- %Ап\\, Re (S (В + ХАп)) ^ О будут выполнены условия
Ия11=1. г,Л(В)=ЦВИ. Re%(S(B + M))<0.
Теперь можно выбрать такую подсеть х\^,, которая в слабой* топологии сходится к Т1 € X* при стремлении Я' к —оо. Функционал tj автоматически обладает свойствами
И || = 1, 11 (В) =Ц В ||, Re 1] (Л) >0.
Но тогда
0 < || В || + Re 11 (А) < 111 (В) + 11 (А) | < || В + А || < е.
В частности, || В || ^ е. Следовательно, обязательно А = 0.
Наконец, если А ? D (S), где S —¦ замыкание S, то найдутся такие Ап ? ? D (S), что Ап—>А и Si4n—>SA. Если 1)я — нормированные касательные функционалы к Ап, а 1) — слабая* предельная точка т]л, то
Ц Г) JJ = 1, 1) (Л) =|| А ||, Ret|(SA)= lim Re т)„ (SA„ )< 0.
П~>оо
Таким образом, S диссипативен.
Лемма 3.1.15. Пусть S — диссипативный оператор, действующий в банаховом пространстве X. Тогда
I (/ — aS) А ||^||Л||
при всех а ^ 0 и всех А ? D (S).
Доказательство. Пусть 1) — ненулевой касательный функционал к А ^ ? D (S). Диссипативность S означает, что при всех а > 0 мы имеем —а Re 1) (SA) > 0, а потому
11)|| || А || = Ret] (A)<Rei) ((/ — ccS) A)< || ц || || (/ — aS) A ||.
Поделив последнее неравенство на || i) ||, получим требуемый результат.
Замечание. Если оператор S плотно по норме определен в банаховом пространстве X и для всех а>0 и всех А ? D (S)
1 (I — aS) (А) 1 ^ I Л ||,
то S допускает замыкание по норме. Этот вывод можно сделать, несколько видоизменив доказательство леммы 3.1.14; соответствующее рассуждение явно проведено в лемме 3.1.27.
В результате мы приходим к следующей характеризации генераторов.
Теорема3.1.16 (теорема Люмера—Филлипса). Для оператора S в банаховом пространстве X следующие условия эквивалентны:
186
3. Группы, полугруппы и генер'аторы
(1) S — генератор С0-полугруппы сжатий;
(2) S плотно определен, замкнут, диссипативен, и
R (I — aS) = X
при некотором а > 0.
Доказательство. Импликация (1) =>¦ (2) следует из теоремы 3.1.10 и обсуждения, предваряющего лемму 3.1.14. Обратно, (2) =>¦ (1) согласно лемме
3.1.15 и теореме 3.1.10.
Следует отметить, что для доказательства леммы 3.1.15 и для доказательства свойства S быть генератором в теореме 3.1.16 требуется только, чтобы Re т] (5Л) < 0 для каждого А ? D (S) при каком-нибудь одном ненулевом касательном к А функционале г). Если же известно, что S — генератор, то Re т) (5Л) < 0 при всех касательных к А функционалах т), для всякого А ? D (S). Можно доказать, что всякий плотно по норме определенный диссипативный оператор обладает таким более сильным свойством.
После обсуждения а (X, /^-непрерывных сжимающих полугрупп займемся а (X, ^-непрерывными группами изометрий U = \Ut}t?R. Вновь можно заметить, что если S — генератор U, то S и —S будут генераторами сжимающих полугрупп \Ut)t>о И \и_ t)t>о соответственно. Тем самым информация, полученная
о свойствах генераторов полугрупп сжатий, может быть прямо преобразована в информацию о генераторах изометрических групп. Для этого S заменяется на +S; например, если S — генератор С0-группы изометрий, то
