Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
II SUtA || = | UtSA || = || SA ||.
Последовательно повторяя это рассуждение, можно показать, что при 11 | <
< tA/2 элемент UtA — аналитический для S, причем соответствующий радиус сходимости ty А = tA. Значит, можно повторно применить определение Ut-
Находим, что
2tm
sm {и‘Л)
т> О
при | /1 < tA и | s | < tjs]2, и в результате получаем, что || UtA || = || А || при всех | / | < tA, и т. д.
Та же самая аргументация позволяет определить UtA при всех / ? R: выбрав п так, чтобы 2\t\!tA, полагаем
vtA = {Utm)nA-
Легко видеть, что это определение не зависит от выбора п и UsUtA = Us+iA при всех s, / ? R. К тому же
lim || UtA- А || = О,
о
поэтому ^ = р является сильно непрерывной однопараметрической
группой изометрий множества Ха. Замыкания операторов Ut относительно нормы в X образуют С0-группу изометрий множества Х0 = Ха — замыкания Ха по норме. Пусть S0— генератор этой группы. Ясно, что S0|x = S |х . Но, согласно следствию 3.1.7, Ха — существенная область определения для S0, а из а (X, F)-o (X, Р)-замкнутости оператора S следует его замкнутость по норме. Таким образом, S0 ?= S, следовательно, при a О
Ха <= Х0 = (/ - aS0) D (S0) <= (/ - aS) D (S).
В случае F = X* совпадут XQ и X, так что выполняется (А1), и доказательство завершено. В случае F = X* можно для А ? X выбрать сеть Ау ? Ха, такую что Ау сходится к Л в слабой* топологии и \\ Ау || ^ || А ||. Но наше предыдущее заключение гарантирует существование таких Ву ? D (S), что Ау = (/ — aS) Ву. Вдобавок
||BvIKI|(/-aS) BV|| = MV|KIM||.
Тем самым ||BV|| равномерно ограничены. Поскольку единичный шар в X слабо*-компактен по теореме Алаоглу —¦ Бурбаки, найдется слабо* сходящаяся подсеть Ву сети Ву. Пусть В обозначает ее предельную точку. Тогда Ву,->-В и Ау,= = (/ — aS) Ву, —> А (оба предела — в слабой* топологий). Из слабой* замкну-
190
3. Группы, полугруппы и генераторы
тости S следует, что В ? D (S) и (/ — aS)B = А, т. е. R (/ — aS) = X. Иначе говоря, верно (2) -f- (А1), так что S — генератор, по теореме 3.1.10.
Отметим, что проведенное в этом доказательстве построение U t позволяет установить
Следствие 3.1.20. Пусть X — банахово пространство, в котором действует а (X, F)-непрерывная группа изометрий U с генератором S. Пусть D — подпространство области определения S, которое а (X, Р)-плотно в X, состоит из аналитических элементов для S и удовлетворяет условию SD <=D. Тогда D — существенная область определения S.
Пример 3.1.2). Рассмотрим в качестве X гильбертово пространство ?>. Тогда неравенство в условии (2) теоремы 3.1.9 равносильно следующему:
||(/-aS)i|5f >||г|5|р, *|>?D(S),
т. е.
—2a Re (г|), S\|)) -f- а2 [| S 1|)||2 > 0.
Для справедливости такого условия необходимо и достаточно, чтобы Re (г|), S\|i) = = 0 при всех ? D (S). Далее, учтем, что -?) = §* и единственным нормированным касательным функционалом к т|) будет т] = "ф/Ц -ф ||. Значит, диссипатив-ность +S эквивалентна свойству Re (г|), Si|)) = 0 при всех i|) ? D (S), или
(г|>, Si|)) + (Si|), г|>) = 0, г|> ? D (S').
Полагая S = iH и применяя стандартные тождества поляризации, замечаем, что эти условия равносильны требованию симметричности Н:
(Яф, г|>) = (ф, Яг])), ф, г|) ? D (Н) = D (S).
Тем самым теорема 3.1.19 утверждает, что S будет инфинитезимальным генератором сильно непрерывной однопараметрической группы изометрий (унитарных операторов) тогда и только тогда, когда S=iH, где Н — плотно определенный замкнутый симметрический оператор, удовлетворяющий одному из следующих двух условий:
либо R (И + iaH) = §, a \ {0},
либо Н обладает плотным множеством аналитических векторов.
Хорошо известно, что это условия самосопряженности Н.
До сих пор мы охарактеризовали лишь генераторы изометрических групп и сжимающих полугрупп, но большую часть полученных результатов можно распространить на общие группы и полугруппы, хотя свойства роста || U11| и вызывают некоторые осложнения. Например, у теоремы 3.1.19 есть такой аналог:
Теорема 3.1.22. Оператор S в банаховом пространстве X является инфинитезимальным генератором а (X, F)-nenpepbie-ной группы при F = X* или F = Х^ тогда и только тогда, когда он а (X, F)-плотно определен, а (X, F)-a (X, Р)-замкнут и удовлетворяет следующим условиям:
3.1. Теория для случая банахова пространства
191
(1) существуют такие М ^ 1 и Р ^ 0, что
I (/ - aSf А I ^ AM (1 - ар)” || А ||
при всех А ? D (5я), всех а с |а| р< 1 и всех п = 1, 2,
(2) либо при всех а с 1 а 113 < 1 (достаточно, чтобы при одном а с О < «Р < 1 и одном с —1 < оф < О)
R (/ - а5) = X,
