Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
0
Поэтому с помощью свойства непрерывности, установленного в следствии 3.1.8, получаем
оо
PK ((XI - S„)-1 А — (XI — S)-1 Л) < J dte~‘ I Re ^ 1 Рк (({/„,, - Ut) А)
о
для всякой полунормы pj(. Условие (16) вытекает теперь из теоремы Лебега о мажорированной сходимости.
(la) (26). Если ReX>0, то область значений R ((XI — S)'1) = D (S) будет а (X, /-^-плотна, а семейство разностей Un,t— Ut равностепенно непрерывно. Значит, достаточно показать, что
lim Un, t (XI — S)_l A = Ut (XI — S)-M, A ? X,
n ->00 ’
в т (X, F)-тoпoлoгии равномерно на конечных интервалах в R+. Далее, учтем, что
(Un, t - Ut) (XI - S)-i A = Un, t ((XI - S)~i - (XI - S„)-i) A
+ (XI - S„)-i (Un< t-Ut)A + ((XI - S„)~i - (XI - S)-i) UtA. Поэтому ДЛЯ ВСЯКОЙ полунормы Рд
Рк i(Un, t - Ut) W - S)'1 A) < рк. (((XI - S)-1 - (XI - S„)-I) A)
+ Pk № ~ snr (Un, t - Ut) A) + Рк (((я/ - s»)_1 - W ~ UtA)
(вследствие равностепенной непрерывности). Первый член по предположению сходится к нулю. Рассмотрим остальные слагаемые порознь.
Из резольвентной формулы вытекает, что резольвенты равностепенно непрерывны, так как равностепенно непрерывны полугруппы Un t и Ut- Например, для каждой р^ существует такая р}что
РК ((W - SnV В) < РК’ W-Тем самым следствие 3.1.8 позволяет заключить, что функции
t ? R+ г-> рк (((XI - S„)-1 - (XI - S)-1) UtA)
194
3. Группы, полугруппы и генераторы
непрерывны, причем равномерно по п. Но эта последовательность функций поточечно сходится к нулю при п—* оо, так что она сходится к нулю равномерно на конечных интервалах R+. Остается разобраться со вторым членом.
Сначала отметим, что произведение двух равностепенно непрерывных семейств также равностепенно непрерывно. Таким образом, достаточно убедиться в правильном типе сходимости на каком-нибудь т (X, Z7)-плотном множестве элементов А, например на D (S). В таком случае
(XI - S„)-i (?/„, t - Ut) (XI - S)"i A
t
= _ j ds-tLun, (XI - S„)-1 Us (XI - S)-1 A
0
t
= - j dsUn< Us USA
0
и, следовательно,
РК ((Я/ - S«)-1 (Unt t - Ut) (I! - S)-1 A)
t
< j dspK, (|(XI - S)~ 1 - (XI - USA).
о
Требуемый тип сходимости обосновывается рассуждениями, относящимися к третьему члену, и теоремой Лебега о мажорированной сходимости.
Предложенная в теореме 3.1.26 характеризация сходимости полугрупп страдает двумя основными недостатками. Во-первых, необходимо предполагать, что пределом является полугруппа, а во-вторых, свойство сходимости резольвент характеризует генераторы неявно, зачастую его трудно проверить. Естественно попытаться получить другие описания, в которых генераторы выступают более явным образом. Трудности на этом пути обусловлены тем, что области определения D (Sn) различных генераторов вполне могут иметь тривиальное пересечение, и это делает невозможным всякое непосредственное сравнение операторов. Один из способов обойти эту трудность, по крайней мере для С0-полу-групп сжатий, состоит в применении понятия сходимости графиков.
Напомним, что для последовательности операторов Sn в банаховом пространстве X соответствующую последовательность графиков G (Sn) [образуют подпространства в X х X, состоящие из пар вида (А, 5„Л), где А ? D (Sn). Рассмотрим теперь все такие последовательности Ап ? D (Sn), что
lim || Ап — А || = 0, lim || SnAn — В || = О
оо п~> оо
для некоторой пары (А, В) ? X X X. Полученные таким образом пары (А, В) образуют некоторый «график» G—некоторое подпространство в X х X, и мы введем обозначение D (G) для множества
3.1. Теория для случая банахова пространства
195
таких А, что (А, В) ? G при некотором В. Аналогично R (G) обозначает множество таких В, что (А, В) ?G при некотором А. Далее, будем писать
G = linr G(S„).
П-> оо
В общем случае G не будет графиком оператора, хотя при определенных обстоятельствах такое возможно. В тех случаях, когда существует оператор S с G (S) = G, мы пишем
5 = graph lim Sn
Л—>• оо
и говорим о граф-пределе операторов Sn. Очевидно, D (S) = D (G) и R (S) = R (G).
В следующей лемме приведены условия, при которых последовательность операторов имеет граф-предел.
Лемма 3.1.27. Пусть Sn — последовательность операторов в банаховом пространстве X. Предположим, что при всех А ? ? D (Sn), всех п Зз 0 и всех а ? [0, 1 ]
