Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
R(I-a(S + КР)) = R(I ~Pa) = D ((/ - Pa)-i) = X.
200
3. Группы, полугруппы и генераторы
Применив теорему 3.1.16, устанавливаем, что S + ХгР — генератор С0-полу-группы сжатий.
Теперь заметим, что
Продолжая доказательство, выберем 0 ^ Я2 < (46)-1 и, повторив предыдущие рассуждения, установим, что S + (Ях Я,) Р является генератором С0-полу-группы сжатий. Последовательным n-кратным применением этих рассуждений получим, что S + ЯР является генератором при всех 0 ^ Я < (1 — 2 ”)/б. Выбрав достаточно большое натуральное число п, приходим к желаемому результату для S + Р.
У теоремы 3.1.32 нет непосредственного С0-аналога, но в простейшем случае, когда Р ограничен, такой аналог имеется.
Пусть оператор Р ограничен и замкнут в о (X, Х^.)-топологии на X. Тогда Р сопряжен к ограниченному замкнутому по норме оператору Р* в X* по лемме 3.1.9. Кроме того, Р* —||Я|| / является ограниченным генератором равномерно непрерывной сжимающей полугруппы в X* в соответствии с предложением 3.1.1, и этот генератор диссипативен в X*. Рассмотрим еще С0-полу-группу U сжатий в X с генератором S. Вторично применив лемму 3.1.9, находим, что операторы Ut сопряжены к операторам U*t, составляющим полугруппу U* в X*, и эта С0-полугруппа сжатий имеет генератор S*, которому сопряжен S. Тем самым теорема 3.1.32 позволяет утверждать, что S* + Р* —||Я|| / будет генератором С0-полугруппы сжатий в X*. Переходя к сопряженным операторам, видим, что S Р порождает Со-полугруппу UP в X с оценкой роста ||?/f)| < exp j|JP|]^j.
Другой подход к изучению ограниченных возмущений предлагает следующая
Теорема 3.3.33. Пусть ст (X, F)-непрерывная полугруппа U в банаховом пространстве X имеет генератор S, и пусть оператор Р в X ограничен и ст (X, F)-o (X, Р)-замкнут. Если F = X* или F = X*, то S + Р порождает такую ст (X, Р)-непрерывную полугруппу Up, что
при всех А ? X. Интегралы здесь существуют в топологии нормы, если F = X*, и в о (X, X*)-топологии, если F = X*; в обоих случаях эти интегралы представляют собой ограниченные опера-
РА К а м II + Ь I) (S + ЯХР) А II + Ь)Л II РА [|,
а так как Я] ^ (26) \ то
|| РА || < 2а || А || + 26 II (S + М>) А
3.1. Теория для случая банахова пространства
201
торы из Я? (X), и ряд в правой части сходится по норме1}. Если
I Ut I < МеР*, то
I?/f-?/,!< Ме^(ем"р"1- 1).
Доказательство. С0-случай: F = X*. Пусть Ujn^ обозначает п-й член ряда теории возмущений, задающего Up. Так как U сильно непрерывна и
t
u\0) = ut, = \dtxUtPU\n-t\\ (*)
о
то по индукции проверяется, что корректно определены и сильно непре-
рывны. Легко получить оценку
11 и(/')А 11 ^ о ^ Л <tnJh ¦¦¦dtn И ^ IIII Ui^ II • ¦ • II и‘-‘» II11Р Г11 Л 11
Отсюда немедленно следует сходимость нашего ряда по норме и последнее утверждение теоремы.
Далее, из рекуррентных формул (*) вытекает интегральное уравнение
t
UPt=Ut + j dsUsPUp_s; («)
о
отсюда
ti
UtK=UUUU+ \dsUsPVu-sul
0
ti t.
= uu+u + 1 dsUti+sPU^s+ j dsUfU^U?
0 0
= up+h + j dsusp [upti_supti - U?i+ti_,}.
0
i%P j АР j iXP
Таким образом, семейство функций Я ? С i—> Ft (Я) -= UtpUtP—состоит из целых аналитических функций, удовлетворяющих однородным интегральным уравнениям
*,(*,)=* ^dsUsPFt_s(k).
Ft . .
о
С помощью разложения в ряд Тэйлора проверяется, что Ft (Я) = 0, т. е. имеет место полугрупповое свойство UP^UP^ = Up^_^ . Очевидно, Up = /, и остается лишь отыскать генератор Т полугруппы Up.
1} Такое разложение в ряд в дальнейшем именуется разложением теории возмущений. — Прим. перев.
202
3. Группы, полугруппы и генераторы
Если 0 < а < ф + М I Р ||) \ то
ОО
(.1-аТГ1 = j dte~‘uPt, о
согласно предложению 3.1.6. Используя интегральное уравнение (**), находим, что
оо оо t
(,1-аТГ1 = j dte-tUat + а \ dt \ <ке~*UasPU? (t_s)
0 0 0
ОО оо оо
= j Ме-(иа( + a j dte^‘uatp j dse“s U%s
0 0 0
